III. Производная и ее приложения

Основные правила и формулы дифференцирования:

1. y = c, где c=const, .

2. y = x, y'=1.

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. - это правило дифференцирования сложной функции.

Пример 1. Найти производные данных функций

а) ; б) ;

в) ; г) <1;

д) ; е) .

Решение:

а) Применяя правило дифференцирования дроби и формулы (3); (16), имеем

б) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

в)

г)

д) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:

или .

Теперь дифференцируем обе части, считая lny сложной функцией от переменной x.

откуда

.

е) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную y', надо продифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной y'. Имеем:

Из полученного равенства, связывающего х, у и y', находим производную y':

откуда

Пример 2. Найти производную второго порядка :

а)

б)

в)

Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:

откуда (1)

Снова дифференцируем по х обе части равенства (1):

(2)

Заменив y' в (2) правой частью (1), получим

.

б) Найдем первую производную данной функции

.

Найдем производную от первой производной, получим вторую производную функции :

в) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную y', находим сначала дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов:

Тогда

Производная второго порядка . Значит, чтобы найти y'', надо найти дифференциал dy':

Тогда