Краткие теоретические сведения. Основными элементами системы передачи сообщений являются источник сообщений (ИС), дискретизатор (Д)

Основными элементами системы передачи сообщений являются источник сообщений (ИС), дискретизатор (Д), кодирующее устройство (Кодер), модулятор (Мод), линия связи, демодулятор (Дем), декодер (Дек) и фильтр-восстановитель (ФВ) (рис. 6.1) [1, c. 20¸21; 2, c. 11¸13].

Рис. 6.1. Структурная схема системы передачи сообщений

6.1. Источник сообщений. [1, c. 50¸54; 2, c 30¸42; 3, c 48¸50; 4, c 144¸146]. выдает сообщение , представляющее собой непрерывный стационарный случайный процесс, мгновенные значения которого в интервале могут соответствовать различным законам распределения, а мощность сосредоточена в полосе частот от 0 до . Для непрерывных процессов распределение вероятностей в заданный момент времени характеризуется одномерной плотностью вероятности [5, c 80]:

выражающей отношение вероятности того, что случайная величина примет значения в интервале , к величине интервала .

Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале определяется выражением

.

Интеграл в бесконечных пределах от функции равен 1 (условие нормировки для достоверного события)

.

В простейшем случае мгновенные значения случайного процесса распределены равномерно (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Одномерная плотность вероятности
мгновенных значений сообщения

Плотность вероятности при равномерном распределении постоянна в интервале и равна нулю за его пределами:

Величина ( высота прямоугольника ) находится из условия нормировки для равномерного распределения случайного процесса:

откуда

.

Важными числовыми характеристиками случайного процесса являются математическое ожидание [5, c 86] и дисперсия [5, c 96]. Математическое ожидание определяет среднее значение случайной величины

;

и для равномерного распределения плотности вероятности:

.

Дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно её среднего значения (физический смысл – средняя мощность отклонения от некоторой средней величины):

;

и для равномерного распределения плотности вероятности:

.

Величину (сигма) называют стандартным или среднеквадратическим отклонением (СКО).

6.2. Дискретизатор. [1, c. 44¸49; 2, c 66¸67; 3, c 91¸109; 4, c 382¸388]. Передача непрерывного сообщения осуществляется дискретными методами. Для этого сообщение дискретизируется по времени c интервалом и квантуется по уровню с равномерным шагом .

Рис. 6.3. Иллюстрация дискретизации по времени
и квантования по уровням сообщения

Интервал определяется из теоремы отсчётов Котельникова: непрерывная функция a (t), не содержащая частот выше граничной F _с, полностью определяется отсчётами мгновенных значений a (t_j)= a (k ) в точках, отстоящих друг от друга на интервалы £ 1/2 F _c. Интервал называется интервалом Котельникова.

Число уровней квантования L при равномерном шаге определяется как частное от деления размаха сигнала на шаг квантования D а. (из рис. 6.3)

.

Определим среднюю мощность шума квантования. Примем, что шум квантования представляет собой стационарный случайный процесс с независимыми значениями отдельных отсчетов (рис. 6.3). Если в качестве квантованного значения сигнала принимается ближайший дискретный уровень (т.е. производится округление), то шум (или ошибка) квантования e при равномерном квантовании с шагом находится в пределах

;

здесь e – шум квантования. Поскольку квантование по уровню производится с равномерным шагом, то закон распределения шума квантования w_ш(e)также будет равномерным и не будет зависеть от номера интервала квантования i.

Рис. 6.4. Одномерная плотность вероятности шума квантования e

Высота прямоугольника на рис. 6.4 находится из условия нормировки:

Тогда математическое ожидание (среднее значение) шума квантования будет равно нулю, а средняя мощность (дисперсия) шума квантования :

.

Рассматривая дискретизатор как источник дискретного сообщения с объемом алфавита L, можно определить его энтропию и производительность , считая отсчеты, взятые через интервал D t независимыми.

Энтропия – это средняя информативность источника на один символ, определяющая «неожиданность» или «непредсказуемость» выдаваемых им сообщений. Полностью детерминированный источник, выдающий лишь одну, заранее известную последовательность, обладает нулевой информативностью. Наоборот, наиболее «хаотический» источник, выдающий взаимно независимые и равновероятные символы, обладает максимальной информативностью.

Для источника, не обладающего памятью с алфавитом A энтропия записывается следующим образом:

, бит/символ;

где L – объем алфавита;

P (a_i), i =1, 2, …, L, – вероятности выдачи источником символов a_i Î A, причем они не зависят от номера элемента последовательности, так как источник является стационарным. P (a_i) –это фактически площадь от до под кривой плотности вероятности .

При равномерном распределении:

;

следовательно, энтропия при равномерном распределении:

Рис. 6.5. Иллюстрация процесса определения вероятности P (a_i)

Основные свойства энтропии:

1. , причем тогда и только тогда, когда одна из последовательностей имеет единичную вероятность, а все остальные – нулевую.

2. Для любого стационарного источника сообщений

.

Так как выражение в правой части – это энтропия источника без памяти, то данное свойство означает, что память уменьшает энтропию источника.

3. Для любого стационарного ИС

;

причем равенство имеет место тогда, и только тогда, когда источник не имеет памяти и все его символы равновероятны.

Энтропия источника тесно связана с понятием его избыточности, которое формально определяется следующим образом:

.

Если ИС имеет фиксированную скорость символ/с, то определим производительность источника, как энтропию в единицу времени, (секунду):

, бит/с.

6.3. Кодер. [1, c. 257¸282; 2, c 109¸110, 352¸358; 3, c 346¸349] Кодирование представляет собой преобразование сообщения в последовательность кодовых символов. Каждому элементу сообщения присваивается определенная совокупность кодовых символов, которая называется кодовой комбинацией. Совокупность кодовых комбинаций, отображающих дискретные сообщения, представляет собой код. Коды можно разделить на примитивные (первичные) и корректирующие или обнаруживающие ошибки. Коды, у которых все возможные кодовые комбинации используются для передачи информации, называются простыми или примитивными. В простых равномерных (т.е. таких, у которых все комбинации имеют одинаковую длину) кодах превращение одного символа комбинации в другой, например 1 в 0 или 0 в 1, приводит к появлению новой разрешенной комбинации, т.е. к ошибке. Корректирующие или обнаруживающие ошибки коды строятся так, что для передачи сообщения используются не все кодовые комбинации, а лишь некоторая их часть (разрешенные кодовые комбинации). Тем самым создается возможность обнаружения и (или) исправления ошибки при неправильном воспроизведении некоторого числа символов. Корректирующие и обнаруживающие свойства кодов достигаются введением в кодовые комбинации дополнительных (избыточных) символов. Таким образом, кодирование сообщения в кодере можно разделить на два этапа – примитивное и избыточное кодирование.

На первом этапе производится примитивное кодирование каждого уровня квантованного сообщения k- разрядным двоичным кодом. Число разрядов кодовой комбинации примитивного кода k, необходимое для кодирования всех L уровней квантованного сообщения:

.

Пусть, например число уровней квантованного сообщения , номер уровня квантования , тогда . Найдем 8-разрядную двоичную кодовую комбинацию, соответствующую передаче уровня квантованного сообщения. Для этого представим число в двоичной системе счисления. Процесс перевода из десятичной в двоичную систему счисления можно представить в виде последовательного целочисленного деления на два. Если записывать остаток от деления справа, а частное снизу от делимого, то мы получим результат изображенный на рис. 6.6, где стрелками обозначен порядок записи нулей и единиц для получения искомого двоичного числа 11011001.

Рис. 6.6. Иллюстрация процесса перевода числа 217
из десятичной в двоичную систему счисления

Можно произвести проверку правильности перевода, найдя сумму произведений полученных кодовых символов на соответствующие степени числа 2.

Следовательно, информационных символов кодовой комбинации будут иметь вид .

На втором этапе в простейшем случае можно применить код с проверкой на четность, т.е. к полученной k- разрядной двоичной кодовой комбинации добавляется один проверочный символ, формируемый простым суммированием по модулю 2 всех информационных символов (код с одной проверкой на четность).

Операция суммирования по модулю 2, также называемая «исключающее ИЛИ», и имеющая обозначение , описывается таблицей истинности (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Таблица истинности для операции суммирование по модулю 2

Избыточность кода с одной проверкой на четность

;

где – число разрядов кодовой комбинации с учетом кодирования с проверкой на четность.

Число двоичных символов, выдаваемых кодером в единицу времени

бит/с;

Длительность двоичного символа

с.

В результате преобразований на выходе кодера образуется синхронная двоичная случайная последовательность (синхронный случайный телеграфный сигнал), состоящая из последовательности биполярных импульсов единичной высоты, причем положительные импульсы в ней соответствуют символу «0», а отрицательные – символу «1» кодовой комбинации (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Двоичная случайная последовательность
(синхронный случайный телеграфный сигнал)

6.4. Модулятор. [1, c. 78, 82, 103¸108; 2, c 147¸151, 62¸63; 3, c 201¸203]. Модуляция – изменение по заданному закону во времени величин, характеризующих какой-либо регулярный физический процесс. Практическое значение имеет модуляция колебаний.

Модуляция колебаний – изменение амплитуды, частоты, фазы или других характеристик колебаний по заданному закону, медленное по сравнению с периодом этих колебаний. Модуляция колебаний используется для передачи информации с помощью электромагнитных волн. Переносчик сигнала в этом случае – синусоидальные колебания высокой (несущей) частоты, амплитуда, частота или фаза которых модулируются передаваемым сигналом. С помощью кодирования и модуляции источник сообщений согласуется с каналом.

Модулятор – составная часть передатчика в каналах электросвязи, оптической и звуковой (подводной) связи, оптических звукозаписывающих, оптоэлектронных и др. устройств, с помощью которой осуществляется управление параметрами гармонических электромагнитных колебаний, т. е. модуляция колебаний. В модуляторе синхронная двоичная случайная последовательность биполярных импульсов осуществляет модуляцию гармонической несущей , ( В, ). В зависимости от того, какой параметр несущей изменяется при модуляции, различают три базовых вида модуляции – амплитудную, частотную и фазовую. Так как для фазовой модуляции характерно так называемое явление «обратной работы», заключающееся в возможности случайного перескока фазы опорного сигнала в приемнике, широкое применение находит ее вариант, лишенный этого недостатка – относительная фазовая модуляция. Аналитические выражения модулированных сигналов для упомянутых четырех видов модуляции:

Амплитудная модуляция (АМ)

Частотная модуляция (ЧМ)

Фазовая модуляция (ФМ)

Относительная фазовая модуляция (ОФМ)

ОФМ можно рассматривать как ФМ с перекодировкой символов по следующему правилу:

,

где – n -й символ перекодированной последовательности ,

– n -й символ исходной последовательности.

Далее приведен пример изображения временных диаграмм сигналов и для четырех описанных видов модуляции при передаче кодовой комбинации (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Временные диаграммы сигналов и

Для описания модулирующих и модулированных сигналов во временной и частотной областях можно использовать соответственно корреляционную функцию и спектральную плотность мощности. Корреляционная функция дает качественное представление о линейной зависимости между значениями одной или двух случайных функций в выбранные моменты времени. Для стационарных случайных процессов корреляционная функция зависит только от разности между моментами времени и (). Если в качестве модулирующего используется синхронный случайный телеграфный биполярный сигнал с единичной высотой импульсов, описанный ранее, то выражение его корреляционной функции имеет следующий вид:

Рис. 6.9. Корреляционная функция модулирующего сигнала

Спектральная плотность величины – это предел отношения величины (например, мощности), соответствующей узкому участку спектра, к ширине этого участка [5, c. 432]. Спектральная плотность мощности определяет распределение мощности в зависимости от частоты. Для нахождения спектральной плотности мощности (или ) сигнала можно воспользоваться теоремой Хинчина – Винера, которая устанавливает связь между спектральной плотностью мощности и корреляционной функцией случайного процесса. В соответствии с этой теоремой спектральная плотность мощности находится с помощью преобразования Фурье корреляционной функции, а обратное преобразование Фурье спектральной плотности мощности дает корреляционную функцию :

Воспользуемся приведенным ранее выражением для корреляционной функции модулирующего сигнала для вычисления его спектральной плотности мощности.

, [Вт/Гц]

При вычислении значения нужно воспользоваться первым замечательным пределом :

, [Вт/Гц]

Рис. 6.10. Спектральная плотность мощности модулирующего сигнала

На графике (рис. 6.10) показано значение ширины энергетического спектра модулирующего сигнала , которое получено из условия (где обычно выбирается в пределах от 1 до 3, в данном случае выбрано =1).

Зная энергетический спектр модулирующего сигнала, легко найти энергетический спектр амплитудно-модулированного сигнала. Энергетический спектр амплитудно-модулированного сигнала будет содержать -функцию на частоте и верхнюю и нижнюю боковые полосы. Наличие -функции в энергетическом спектре отражает наличие несущей частоты при амплитудной модуляции. Форма верхней боковой полосы энергетического спектра АМ сигнала совпадает с формой энергетического спектра модулирующего сигнала , а форма нижней совпадает с зеркальным спектром сигнала .

Для нахождения энергетических спектров сигналов ФМ и ЧМ можно воспользоваться результатами, полученными при АМ, представляя эти колебания как сумму двух АМ сигналов.

Энергетические спектры сигналов ФМ и ОФМ одинаковы и качественно отличается от энергетического спектра АМ сигнала тем, что не содержат -функцию, так как при модуляции фазы сигнала на в спектре ФМ сигнала не содержится несущего колебания.

Энергетический спектр ЧМ сигнала представляет собой сумму энергетических спектров АМ сигналов с несущими частотами и . Величину (девиацию частоты) следует выбирать из условия ортогональности колебаний с частотами и . Это условие будет выполнено, если , где ; – длительность посылки. На практике обычно выбирают равным от 1 до 3.

Далее на рис. 6.11 приведен пример построения спектров модулированных сигналов для одного и того же модулирующего сигнала. (При расчете и построении спектра ЧМ сигнала было принято, что ). Высота спектральных характеристик нормирована относительно максимума ФМ сигнала. Высота несущих показана условно. На рисунке спектр ФМ(ОФМ) показан сплошной линией, АМ – пунктирной, ЧМ – штрихпунктирной.

Рис. 6.11. Спектральная плотность мощности модулированного сигнала при различных видах модуляции

Ширина энергетического спектра при АМ и ФМ как следует из приведенных выше рассуждений, будет в два раза больше ширины энергетического спектра модулирующего сигнала, т.е. . При ЧМ ширина энергетического спектра будет, кроме того, определяться выбранным разносом между частотами и (т.е. к удвоенной ширине энергетического спектра модулирующего сигнала нужно добавить разнос между частотами и , ).

6.5. Канал связи. [1, c. 145¸146, 149¸150, 249¸251; 2, c 326¸328; 3, c 58¸61, 146¸148].

1. Определить мощность шума в полосе частот ;

2. Найти отношение сигнал – шум ;

3. Найти пропускную способность канала ;

4. Определить эффективность использования пропускной способности канала , определив ее как отношение производительности источника к пропускной способности канала .

Передача сигнала осуществляется по каналу с постоянными параметрами и аддитивным флуктуационным шумом с равномерным энергетическим спектром (белый шум). Сигнал на выходе такого канала можно записать следующем образом:

.

Рис. 6.12. Канал связи

1. Мощность шума в полосе можно определить, зная спектральную плотность мощности .

2. При определении отношения Необходимо иметь в виду следующее: для двоичных равновероятных сигналов и их средняя мощность будет равна

;

где

– энергия сигналов и ;

– длительность сигналов.

6.6. Демодулятор. [1, c. 165-186, c. 197-206; 2, c. 197-240c. 255-266; 3, c. 204-231]

Алгоритм работы оптимального по критерию максимального правдоподобия демодулятора при передаче двоичных сообщений может быть представлен в следующем виде:

Если

то принятым считается сигнал .

Если

то принятым считается сигнал .

Необходимо для случаев АМ, ЧМ, ФМ конкретизировать этот алгоритм работы, подставив в него соответствующие виду модуляции сигналы и .

В сокращенном виде эти алгоритмы можно записать следующим образом:

Для ФМ

;

Для АМ

;

Для ЧМ

.

Для ОФМ можно применять алгоритм ФМ, дополнив его ячейкой памяти и устройством перекодировки, которое выполняет операцию «исключающее ИЛИ» (xor) над текущим и находящимся в ячейке памяти символами. Т.е. при равенстве текущего и находящегося в памяти символов на выход демодулятора поступит 0, а если они различаются, то 1.

Алгоритм работы некогерентного демодулятора (прием по огибающей) оптимального по критерию максимального правдоподобия может быть представлен в виде:

Если

то принятым считается сигнал .

Если

,

то принятым считается сигнал .

Здесь – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка;

,

где - сигнал, сопряженный по Гильберту с сигналом U_i (t).

Необходимо также упростить этот алгоритм для заданного вида модуляции.

Для АМ, полагая, что символ 0 передаётся сигналом U ₀(t) = 0, алгоритм можно записать в виде

V ₁ > λ,

где пороговый уровень

а функция обратна функции При выполнении неравенства (превышение V ₁ над порогом) регистрируется символ 1, в противном случае – символ 0.

Для ЧМ алгоритм и соответственно его реализация существенно упрощаются, т.к. сигналы имеют равную энергию (E_i = Е). Для них с учётом монотонного характера функции алгоритм оптимального некогерентного приёма можно записать так:

При его выполнении регистрируется 1, в противном случае — 0. При реализации алгоритма в схеме не нужны блоки НУ и блоки вычитания.

При ОФМ следует учесть, что сигналы следует рассматривать на интервале двух посылок (см. [3], c. 266-269).

Для ОФМ алгоритм приёма можно записать в виде

где

ψ – случайная, но постоянная на интервале (-Т; Т) фаза.

Если выполняется соотношенние «>», то принятым считается сигнал , а если соотношенние «», то принятым считается сигнал .

После вывода алгоритма работы оптимального демодулятора необходимо изобразить его структурную схему, которая позволяла бы реализовать полученный алгоритм. Эти схемы могут быть построены с использованием как активных фильтров (перемножителей, интеграторов), так и согласованных фильтров.

Схемы оптимальных демодуляторов для когерентного и некогерентного приема сигналов приведены в приложении Д.

Вероятность ошибки оптимального когерентного демодулятора для канала с аддитивным нормальным «белым» шумом при передаче двоичных сообщений определяется следующим выражением:

,

где – интеграл вероятности (функция Крампа);

.

Приведенная формула справедлива для АМ, ЧМ, ФМ. При ОФМ, поскольку демодулятор включает в себя оптимальный когерентный демодулятор ФМ сигналов и блок перекодировки (см. [3], с. 258-260):

Вероятность ошибки оптимальных некогерентных демодуляторов для канала с аддитивным нормальным «белым» шумом может быть определена по следующей формуле:

где – отношение энергии сигнала на интервале T к спектральной плотности мощности шума.

6.7. Декодер. [1, c. 257-287; 2, c. 352-360; 3, c. 354-366]

Обнаруживающая и исправляющая способность кодов определяется – минимальным расстоянием по Хеммингу между кодовыми комбинациями. Для нахождения необходимо знать, что определяется минимальным весом (минимальным числом единиц) по всем кодовым комбинациям (кроме нулевой, т.е. той, все элементы которой нули) (см. [3], с. 217). Найдя , следует определить обнаруживающую способность кода с одной проверкой на четность

.

6.8. Фильтр-восстановитель. [1, c. 47-49]

Фильтр–восстановитель – фильтр нижних частот с частотой среза , равной верхней граничной частоте передаваемого сигнала ().

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики идеального фильтра-восстановителя приведены на рис. 6.13 и 6.14.

Рис. 6.13. АЧХ идеального фильтра-восстановителя

Рис. 6.14. АЧХ идеального фильтра-восстановителя

Импульсная характеристика идеального фильтра-восстановителя описывается выражением

.