B. По кругу в каком-то порядке выписаны числа от 1 до 77 [до 88, до 99]. Какова минимально возможная сумма модулей разностей между соседними числами?

Ответ. 152 (для 7 класса), 174 (для 8 класса), 196 (для 9 класса)

Решение (для 77 чисел). Заметим, что где-то в круге стоят числа 1 и 77. Рассмотрим «путь» от 1 до 77 по часовой стрелке: 1, x₁, x₂, …, x_k, 77. Заметим, что при прождении по этому пути число изменяется на 76, поэтому сумма модулей разностей не меньше 76 (формально: |77-x_k| + |x_k-x_k-1| + … + |x₂-x₁| + |x₁-1| >= |77-1| = 76).

Теперь рассмотрим путь между числами 1 и 77 «с другой стороны» (против часовой стрелки); сумма модулей разностей, стоящих там, также не меньше 76. Поэтому общая сумма модулей разностей не меньше 152.

Результат 152 достигается (например, при расстановке чисел по порядку).

Критерии. Только ответ — 1 балл. Ответ с примером — 2 балла.

Оценка с верным ответом, но без упоминания примера — снимаем 2 балла (?)

Арифметическая ошибка (или ответ, допустим, 77·2 вместо 76·2) — минус балл. К формулировкам доказательства не придираемся (достаточно картинки с двумя стрелочками в разные стороны). Почему сумма разностей при переходе от 1 к 77 не меньше 76, объяснять не обязательно.

(10-11)

C. СН — высота в треугольнике АВС, а О — центр его описанной окружности. Из точки С опустили перпендикуляр на АО, а его основание обозначили через Т. Наконец, через М обозначили точку пересечения НТ и ВС. Найдите отношение длин отрезков ВМ и СМ.