Работа №4

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Цели работы:

- изучение электромагнитных процессов и параметров индуктивно-связанных цепей;

- овладение приемами построения векторных диаграмм для индуктивно-связанных цепей.

Явление наведения ЭДС в какой-либо цепи при изменении тока в другой цепи называют взаимоиндукцией.

Рассмотрим две индуктивно-связанные катушки (рис.1). Если в первой из них протекает переменный ток i₁, то он создает магнитное поле, часть которого будет достигать витков второй катушки. Часть потока первой катушки сцепленная с витками второй катушки на рис.1 обозначена как Ψ₂₁.

Рис.1.

Cозданный током i₁ полный поток первой катушки, сцепляясь с витками этой катушки наводит в ней ЭДС самоиндукции:

,

В тоже время поток первой катушки, сцепленный с витками второй катушки, наводит во второй катушке ЭДС взаимной индукции. Эта ЭДС определяется потокосцеплением Ψ₂₁:

,

где М₂₁ – коэффициент взаимной индукции второй и первой катушек или просто взаимная индуктивность. Определяется она по аналогии с собственной индуктивностью отношением потокосцепления Ψ₂₁ к порождающему его току i ₁

.

Измеряется М₂₁ (как и индуктивность L₁) в генри (Гн).

С другой стороны, если во второй катушке также протекает изменяющийся во времени ток i ₂ , то магнитный поток, созданный этим током будет наводить во второй катушке ЭДС самоиндукции:

,

ав первой катушке он наведет ЭДС взаимной индукции:

.

Здесь взаимоиндуктивность первой и второй катушек определяется как

.

Опыт доказывает что М₁₂ и М₂₁ одинаковы, т.е.:

М₁₂ = М₂₁ = М.

Отношение ЭДС взаимной индукции к ЭДС самоиндукции, называют степенью взаимоиндуктивной связи катушки:

k₂₁=e_М21/e_L1=M/L₁;

k₁₂=e_M12/e_L2=M/L₂,

где k₂₁, (k₁₂) - степень индуктивной связи второй (первой) катушки с первой (второй); физический смысл степени индуктивной связи состоит в том, она показывает долю магнитного потока одной катушки, проходящего через витки другой, когда в ней отсутствует ток.

Среднее геометрическое из степеней связи есть коэффициент связи:

k= k₁₂ k₂₁ = . (1)

Он всегда меньше единицы. Чем плотнее наложены витки первой катушки на витки второй, тем k ближе к единице.

Таким образом, в каждой из катушек в общем случае, индуктируемая ЭДС (e₁,e₂) складывается из двух составляющих: собственной ЭДС - ЭДС самоиндукции (e_L1,e_L2) и дополнительной ЭДС, созданной полем индуктивно связанной с ней цепи – ЭДС взаимоиндукции (e_M12 e_M21), т.е.

e₁=e_L1± e_M12 ; e₂=e_L2± e_M21.

Знак “+” или “ – “ при ЭДС взаимоиндукции зависит от направления токов в катушках и их взаимного расположения. ЭДС само – и взаимоиндукции суммируются, если катушки включены так, что их магнитные потоки складываются. Такое включение называется согласным. В противном случае имеет место встречное включение, при котором эти ЭДС вычитаются.

На схемах замещения обозначают точками одноименные выводы (“начала”) каждой из катушек (рис.2.). При согласном включении токи направлены одинаково относительно одноименных выводов (рис.2а). При встречном включении (рис.2б) один из токов направлен к “началу” катушки, а другой выходит из “начала” своей катушки.

В цепях, с синусоидально меняющимися напряжениями и токами, ЭДС взаимоиндукции учитываются в виде падения напряжения на эквивалентном реактивном сопротивлении взаимоиндукции Х _М = jωM от соответствующего порождающего тока. В итоге в комплексной форме полное падение напряжения на индуктивно связанных элементах состоит из двух компонент

U ₁= U _L1+ U _M12=j I ₁ Х_L1± j I ₂Х_М = j I ₁ ωL₁ ± j I ₂ ωM;

U ₂= U _L2+ U _M21=j I ₂Х_L2± j I ₁ Х_М = j I ₂ ωL₂ ± j I ₁ ωM,

где U _L1 = j I ₁Х_L1 , U _L2 = j I ₂Х_L2 ^- падения напряжения на сопротивлениях собственной индуктивности;

U _M12 = j I ₂Х_М, U _M21= j I ₁Х_М – падения напряжения на сопротивлениях взаимно индуктивности;

Х_L1 = ωL₁ , Х_L2 = ωL₂ - собственные индуктивные сопротивления элементов;

Х_M = ωM - сопротивление вносимое взаимной индуктивностью.

В частном случае при последовательном включении двух индуктивно связанных катушек (рис.3) с учетом их активных сопротивлений имеем

U ₁=R₁ I + jωL₁ I ± jωM I,

U ₂=R₂ I + jωL₂ I ± jωM I,

По второму закону Кирхгофа

U = U ₁ + U ₂ =R₁ I + jωL₁ I ± j ωM I + R₂ I + jωL₂ I ± j ωM I = ( R_Э + jX_Э) I,

отсюда

R_Э = R₁ + R₂, X_Э = ωL_Э,

где

L_Э = L₁ + L₂ ± 2M. (2)

Таким образом, эквивалентная индуктивность рассматриваемой цепи зависит от того согласно или встречно включены катушки.

Соотношения между составляющими падения напряжения для индуктивно связанных цепей в наиболее наглядной форме отражают векторные диаграммы. На рис. 4 приведена векторная диаграмма для цепи, состоящей из двух последовательно соединенных индуктивно связанных катушек при их встречном включении.

В случае согласного включения катушек направление векторов jωM I меняется на противоположное.

При параллельном соединении индуктивных катушек (рис.5) по первому и второму законам Кирхгофа в комплексной форме можно записать систему уравнений:

U = R₁ I₁ + jωL₁ I₁ ± j ωM I₂;

U = R₂ I₂ + jωL₂ I₂ ± j ωM I₁;

I = I ₁ + I ₂.

Здесь, также, знак «плюс» отвечает согласному, а знак «минус» - встречному включению катушек.

Решая эту систему уравнений, получим:

,

где Z ₁ = R₁ + jωL₁; Z ₂ = R₂ + jωL₂ - собственные сопротивления катушек;

Х _M = jωM - сопротивление взаимной индуктивности.

Для расчета сложных цепей синусоидального тока с взаимной индукцией применяют метод уравнений Кирхгофа и метод контурных токов. При этом, составленные по второму закону Кирхгофа уравнения, наряду с падениями напряжения на собственных элементах контуров, должны включать дополнительные падения напряжения, вносимые взаимными индуктивностями.

Экспериментально взаимную индуктивность можно определить двумя способами.

Первый способ основан на измерении эквивалентной индуктивности при согласном L_ЭС и встречном включении L_ЭВ катушек.

Исходя из того, что L_ЭС = L₁ + L₂ + 2M, L_ЭВ = L₁ + L₂ - 2M имеем

. (3)

Повторому способу катушки включаются по схеме, приведенной на рис.6, и подключаются к источнику синусоидального напряжения. Измеряется ток I₁ и напряжение U₂.

Мгновенное значение напряжения . Его действующее значение U₂ = ωI₁M. Следовательно

М = U₂ / ω I₁ (4)

В данной работе исследуются способы экспериментального определения взаимной индуктивности и режимы работы индуктивно связанных цепей.