В трехфазной схеме, соединенной звездой 1 страница

Как вытекает из самого принципа соединения звездой, является очевидным, что линейный ток равен фазному: I_Л = I_Ф. Действительно, как видно из рисунка 5, ток I_A протекает по фазе A генератора, не разветвляясь протекает по линейному проводу A–a и не разветвляясь течет по фазе a приемника.

Ток I_N в нейтральном проводе в соответствии с первым законом Кирхгофа равен сумме фазных (линейных) токов.

В аналитическом методе расчета эта сумма алгебраическая:

(6)

i_N = i_A + i_B + i_C,

где малыми буквами обозначены мгновенные значения токов.

В методе векторных диаграмм эта сумма векторная:

(7)

где большими буквами обозначены действующие (средние квадратичные за период) значения токов.

В символическом методе эта сумма алгебраическая [1]:

(8)

где складываются комплексы действующих значений токов .

Рассмотрим, как соотносятся фазные и линейные напряжения применительно к генератору бесконечной мощности, соединенному звездой.

На рисунке 6 показана схема, на которой вольтметр V подключен к началам двух разных фаз А и В. Очевидно падение напряжения на внутренней цепи вольтметра будет представлять собой линейное напряжение U_AB.

Составим, задавшись направлением обхода (рис. 6), уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного вольтметром V и фазами А и В генератора в векторной форме (метод векторных диаграмм) и перепишем его в виде:

(9)

.

Переключив вольтметр на две другие пары зажимов, получим аналогичные равенства:

(10)

Таким образом, при соединении звездой вектор линейного напряжения равен геометрической разности векторов двух соответствующёих фазных напряжений.

Решим полученные равенства графически с учетом того, что идеальный генератор вырабатывает симметричную систему фазных напряжений, которая может быть представлена симметричной трехлучевой звездой векторов (рис. 7).

Рис. 7

Для необходимых графических построений воспользуемся правилом сложения векторов методом многоугольника [1] (в нашем случае методом треугольника), представив записи полученных зависимостей (9) и (10) в виде суммы типа

(11)

.

Рассмотрим подробно (рис. 7) построение вектора (все операции выполняются с соблюдением выбранного масштаба напряжений). Методом параллельного переноса совмещаем начало вектора с концом вектора первого слагаемого . Как известно суммарный вектор получится соединением начала первого слагаемого с концом последнего (в нашем случае второго ).

Проделав аналогичные операции в соответствии с равенствами (10) получаем расположения векторов и (рис. 7). Как видно из рисунка 7 три вектора линейных напряжений , и образуют симметричную трехлучевую звезду векторов, которая опережает звезду фазных напряжений на 30° (с учетом вращения векторов против часовой стрелки).

Чтобы выяснить соотношение между линейным U_Л и фазным U_Ф напряжениями, рассмотрим прямоугольный треугольник D mq0 (рис. 7), который получается, если опустить из вершины тупого угла одного из равнобедренных треугольников высоту (которая является и медианой).

Из D mq0 следуют очевидные равенства: отрезок = ; поскольку он является прилегающим к углу 30° катетом, то = cos30°=U_Ф ( =U_Ф).

Приравняв правые части двух равенств, получим:

(12)

U_Л = U_Ф,

то есть линейное напряжение генератора, соединенного звездой, в раз больше фазного ( = 1,73).

Что касается приемника, соединенного звездой, то это соотношение соблюдается только при симметричной нагрузке или при наличии нейтрального (нулевого) провода, если пренебречь его сопротивлением и сопротивлениями линейных проводов.

В дальнейшем будем, как правило, рассматривать трехфазные цепи, считая сопротивления линейных проводов и сопротивление нейтрального провода (если он есть) равными нулю.

С учетом этого предположения можно утверждать, что на приемник, соединенный звездой с нейтральным проводом, передаются от генератора без изменения величины потенциалы начал фаз А, В, С и нейтральные точки N. Таким образом система линейных и фазных напряжений на приемнике при наличии нейтрального провода будет такой же, как и на генераторе, то есть симметричной.

В этом случае электрические потенциалы линейных проводов будут равны потенциалам начал одноименных фаз генератора и приемника, а потенциал нейтрального провода будет иметь потенциал концов всех трех фаз генератора и приемника.

С учетом сказанного является очевидным, что фазное напряжение генератора или приемника можно определить как разность потенциалов между соответствующим линейным проводом и нейтральным проводом, а линейное напряжение как разность потенциалов между двумя линейными проводами.

Отметим, что векторная диаграмма фазных и линейных напряжений генератора, соединенного звездой (рис. 7), может быть представлена в более компактном виде, поскольку векторы линейных напряжений , , одновременно являются сторонами равностороннего треугольника, вершины которого – концы векторов соответствующих фазных напряжений , , (рис. 8).

На рисунке 8 такая диаграмма показана в комплексной плоскости, что позволяет по аналогии с равенствами (9) и (10) получить комплексы линейных напряжений:

(13)

(13)

,

где в соответствии с равенствами (2): ; ; .

Сделав соответствующие подстановки в (13), получим:

(14)

Нетрудно убедиться, что ввиду симметрии системы линейных напряжений всегда будет справедливо равенство (необходимо сложить правые части равенств (13) или (14)):

(15)

.

1.4. Режимы работы трехфазной цепи при соединении звездой

Будем рассматривать режимы работы трехфазной цепи с нейтральным проводом при условии, что генератор является источником бесконечной мощности, а линейные провода и нейтральный провод не создают потерь напряжения при любой величине токов в них, то есть их полные сопротивления равны нулю (z_л = 0; z_N = 0).

На рисунке 9 показана такая схема с возможностью измерения фазных (линейных) токов, тока в нейтральном проводе амперметрами А и напряжения U_N между нейтральными точками генератора и приемника вольтметром V.

На схеме все электрические величины показаны как комплексные числа. В дальнейшем будем при необходимости считать, что , и т.д., поскольку комплексные напряжения и токи – это те же векторы, что и изображающие их комплексные числа. Это позволяет строить векторные диаграммы как в комплексной системе координат, так и без нее.

Рис. 9

Очевидно с учетом принятых допущений режим работы всей цепи будет определяться тем, в каком режиме находится приемник и в каком положении находится ключ К, замыкающий или размыкающий нейтральный провод N – n.

Первый режим, который мы рассмотрим – это режим симметричной нагрузки, когда приемник является симметричным.

Симметричной называется нагрузка, при которой комплексные сопрёотивления фаз приемника равны друг другу:

(16)

z_Ф e ^jj = r_Ф + jx_Ф,

где

[1]

То есть величины полного (кажущегося) сопротивления каждой фазы приемника z_Ф равны друг другу, а фазные токи будут сдвинуты относительно «своих» фазных напряжений на один и тот же угол φ.

Предположим, что ключ К на схеме (рис. 9) замкнут, то есть со стороны генератора на зажимы приемника a, b, c, n подается симметричная система фазных и линейных напряжений (рис. 8).

Применим закон Ома в комплексной форме [1] для фаз симметричного приемника

= ; = ; = .

Комплекс тока в нейтральном проводе согласно первому закону Кирхгофа равен алгебраической сумме комплексов фазных токов

(17)

= + + .

Сделав соответствующие подстановки в правую часть равенства (17), получим:

(18)

= ,

то есть ток в нейтральном проводе отсутствует из-за того, что обращается в ноль выражение в скобках (5).

Таким образом при симметричной нагрузке необходимость в нейтральном проводе отпадает, и схема превращается в «трехпроводную звезду» или «звезду без нейтрального провода».

Поэтому заведомо симметричные приемники (например электродвигатели трехфазного тока: асинхронные и синхронные) подключаются к питающей сети только тремя линейными проводами.

В качестве примера на рисунке 10 показана «трехпроводная звезда» с симметричным активно-емкостным приемником. Предположим, что активное и емкостное сопротивления равны друг другу по величине (модулю) r = x_c. Комплексные сопротивления фаз одинаковы и равны , где , .

Рис. 10

Симметричность приемника предполагает равенство нулю тока в нейтральном проводе (), поэтому на схеме (рис. 10) провод N – n не показан.

Рис. 11

На рисунке 11а показана векторная диаграмма фазных напряжений и токов без увязки с системой координат +1, + j комплексной плоскости. Очевидно фазные токи будут одинаковы по величине и опережать «свои» фазные напряжения на угол φ = –45° (как это показано на диаграмме (рис. 11а)). Нетрудно видеть, что три тока образуют симметричную трехлучевую звезду векторов, опережающую на угол φ = –45° звезду векторов фазных напряжений.

Убедимся, что геометрическая сумма векторов фазных токов, показанных в виде трехлучевой симметричной звезды на рисунке 11б, равна нулю, то есть

(19)

.

Решим равенство (19) графически (рис. 11б), используя сложение векторов по правилу многоугольника [1].

В качестве первого слагаемого принимаем вектор . Посредством параллельного переноса второго слагаемого вектора (при соблюдении выбранного масштаба) совмещаем его начало с концом первого слагаемого . Проделав аналогичную операцию с третьим слагаемым вектором , убеждаемся, что его конец совпадает с началом первого слагаемого . Поскольку суммарный вектор получается соединением начала первого слагаемого с концом последнего, то суммарный вектор в рассматриваемом случае равен нулю.

Если не соблюдается условие симметричности приемника, то следует предположить появление тока в нейтральном проводе (I_N > 0). Дадим общее определение несимметричной нагрузки.

Несимметричной называется нагрузка, при которой комплексные сопротивления фаз приемника не равны друг другу, то есть .

Следует отметить, что приведенные здесь понятия симметричной и несимметричной нагрузки распространяются и на трехфазные цепи, соединенные треугольником.

Одним из частных случаев несимметричной нагрузки является равномерная нагрузка, при которой по фазам приемника протекают одинаковые по величине токи, но углы сдвига φ между фазными напряжениями и токами отличаются по величине или знаку. Применительно к схеме «звезда с нейтральным проводом» это означает, что модули комплексов сопротивлений фаз равны друг другу: z_a = z_b = z_c = z_Ф, а аргументы – не равны: φ_a ¹ φ_b ¹ φ_c.

Рассмотрим численный пример равномерной нагрузки, когда в схему четырехпроводной звезды (рис. 9) включен приемник с линейным напряжением U_Л = 380В. Фазы приемника имеют одинаковые по величине сопротивления, но различаются по физической природе (рис. 12а): комплексное сопротивление фазы a–x: (резистор); фазы b–y: (идеальный конденсатор); фазы c–z: (идеальная катушка индуктивности).

При наличии нейтрального провода система фазных напряжений приемника симметрична, то есть фазное напряжение на всех фазах одно и то же: . Поскольку модули комплексных сопротивлений всех фаз одинаковы z_a = z_b = z_c = z_Ф =10 Ом, то величина тока во всех фазах одна и та же: .

Рис. 12

В соответствии с первым законом Кирхгофа вектор тока в нейтральном проводе равен геометрической сумме векторов фазных (линейных) токов (17):

.

Решим это равенство графическим методом, построив соответствующую векторную диаграмму (рис. 13).

Рис. 13

Задача облегчается тем, что векторы фазных токов при выбранном масштабе имеют одинаковую длину и сдвинуты относительно своих фазных напряжений на удобные для построения углы: .

В отличие от симметричной нагрузки векторы токов вместо симметричной звезды векторов образуют «метелку». Просуммировав векторы в соответствии с равенством (17) по правилу многоугольника, получим суммарный вектор тока в нейтральном проводе, который равен, как в этом нетрудно убедиться с учетом показанных геометрических построений на рисунке 13

.

То есть в приведенном примере ток в нейтральном проводе намного превосходит токи в линейных проводах (фазные токи приемника). Такой случай на практике может встретиться только теоретически.

Рис. 14

Кстати при наличии в фазах приемника реактивных сопротивлений большое значение имеет их взаимное расположение по фазам. Покажем это на рассмотренном выше примере, поменяв местами реактивные сопротивления в фазах b–y и c–z (рис. 12б). На рисунке 14 показана векторная диаграмма фазных токов и напряжений и проведено графическое построение вектора тока в нейтральном проводе в соответствии с равенством

.

Можно показать, что величина этого тока

,

то есть изменение только структуры одного и того же приемника снизило ток в нейтральном проводе в 3,75 раза.

Поскольку при несимметричной нагрузке по нейтральному проводу всегда протекает ток I_N > 0, то можно предположить наличие разности электрических потенциалов между нейтральными точками N генератора и n приемника.

Эта разность потенциалов при разомкнутом нейтральном проводе (ключ K на схеме рис. 9 разомкнут) получила название «напряжение смещения нейтрали», величину которого U_N можно измерить вольтметром V (рис. 9).

Формулу для расчета напряжения U_N можно получить, воспользовавшись методом узловых потенциалов, а точнее методом двух узлов, поскольку схема на рисунке 9 содержит два электрических узла N и n. Вывод такой формулы узлового напряжения для цепей постоянного тока приведен в [2].

Применительно к схеме на рисунке 9 эта зависимость в комплексной форме записи имеет вид:

(20)

где – комплекс напряжения смещения нейтрали;

, , – комплексы фазных напряжений генератора, образующих

симметричную систему векторов (рис. 8);

; ; – комплексы проводимостей фаз

приемника с учетом комплексных сопротивлений линейных

проводов (если эти сопротивления не равны нулю [7]).

– комплексная проводимость нейтрального провода; – его

комплексное сопротивление.

Рассмотрим случай обрыва нейтрального провода (ключ K на схеме рис. 9 разомкнут) при несимметричной нагрузке ( ¹ ¹ ) с учетом того, что вольтметр V показывает величину U_N напряжения смещений нейтрали.

Нас будут интересовать фазные напряжения приемника как падения напряжения, создаваемые фазными (линейными) токами на полных сопротивлениях z_a, z_b, z_c фаз (U_Ф = I_Фz_Ф).

Запишем в комплексной форме уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного фазой A–X генератора, линейным проводом A–a, фазой a–x приемника и цепью вольтметра V между точками N и n (ключ K на схеме рис. 9 разомкнут):

Аналогично для контура B–Y, B–b, b–y, N–n и контура C –Z, C–c, c–z, N–n можно записать:

Перепишем полученные равенства в виде

(21)

,

то есть комплексы фазных напряжений приемника получаются алгебраическим вычитанием из комплексов фазных напряжений генератора одной и той же величины: комплекса напряжения смещения нейтрали.

Аналогичные зависимости можно записать и в векторной форме:

(22)

Можно показать, что при вычитании из трех векторов , , , образующих симметричную систему, одного и того же вектора полученные векторы , , будут отличаться друг от друга по величине и не будут сдвинуты по фазе на 120°.

Таким образом при наличии напряжения смещения нейтрали (U_N > 0) работа фаз приемника будет ненормальной, поскольку фазные напряжения будут отличаться от нормальной величины и будут изменяться при изменении режима работы отдельных фаз.