Определение производной

Лекция 3. Производная функции одной переменной

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

2. Определение производной функции одной переменной.

3. Основные формулы дифференцирования.

Задача о скорости движения

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону , где - пройденный путь, - время, и необходимо найти скорость точки в момент .

К моменту времени пройденный путь равен , а к моменту - путь (см. рис.). Тогда за промежуток средняя скорость будет . Чем меньше

, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент . Поэтому под скоростью точки в момент естественно понимать предел средней скорости за промежуток от до , когда , т.е.

(1.1)

Задача о производительности труда

Пусть функция выражает количество произведённой продукции за время и необходимо найти производительность труда в момент .

За период времени от до количество произведённой продукции изменится от значения до значения ; тогда средняя производительность труда за этот период времени . Очевидно, что производительность труда в момент можно определить как предельное значение средней производительности за период времени до при , т.е.

(1.2)

Рассматривая две различные по характеру задачи, мы пришли к пределам (1.1 и 1.2) одного вида. Этот предел играет важную роль в математическом анализе, являясь основным понятием дифференциального исчисления.

Определение производной

Пусть функция определена на промежутке . Возьмем точку . Дадим значению х приращение . Тогда функция получит приращение .

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

(2.1)

Производная функции имеет несколько обозначений: . Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например .

Нахождение производной функции называется дифференцирование м этой функции.

Из задачи о скорости движения следует механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент : .

Из задачи о производительности труда следует экономический смысл производной: производная объёма произведённой продукции по времени есть производительность труда в момент .

Геометрический смысл производной: производная функции в точке () есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к кривой в точке , т.е. .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид