Модуль 08 „Числові та функціональні ряди”

Тема 1. Числовий ряд та його збіжність. Достатні ознаки збіжності числових рядів.

Тема 2. Степеневий ряд та розвинення функцій у степеневий ряд.

Тема 3. Розвинення функції у ряд Фур’є.

Модуль 08 «Числові та функціональні ряди» є одним з основних розділів курсу вищої математики, має велике практичне значення і застосовується в різних областях наукової та практичної діяльності. У курсі вищої математики другого семестру відведено двадцять академічних годин на вивчення теорії рядів, з яких вісім годин лекційних занять, вісім годин лабораторних занять і чотири години самостійної роботи.

М08 Числові та функціональні ряди	Бали
min	max
1. Числовий ряд та його збіжність. Достатні ознаки збіжності числових рядів.	0,25	0,5
2. Степеневий ряд та розвинення функцій у степеневий ряд	0,25	0,5
3. Модульна контрольна робота
4.Типовий розрахунок №5	2,5

Всього модуль №5 складає 17% або від 6 до 10 балів від загальної кількості балів, які дають змогу складати іспит з вищої математики.

У даних методичних рекомендаціях запропоновані завдання для самостійної роботи студентів з наступних розділів: числові ряди, знакозмінні ряди, функціональні ряди, степеневі ряди, ряди Фур’є. Дані теми є базовими при вивчені теорії рядів, і без опанування даним матеріалом неможливо вивчити курс вищої математики в цілому.

Матеріал даного посібника складається з двох основних частин: розрахункових завдань та методичних рекомендацій. Розрахункові завдання розподілено на групи за тематикою та методами розв’язання. Студент за своїм варіантом, у відповідності зі списком групи, обирає завдання з кожної групи задач, підставляючи замість параметра b номер своєї групи. Наприклад якщо студент групи Б 1/4, то b=4. в методичних рекомендаціях надано приклади розв’язання задач з кожної групи з повним обґрунтуванням. До деяких завдань надано по декілька прикладів розв’язання, які відображають різні можливі випадки.

Теоретичні питання.

1. Збіжність і сума ряду. Необхідна умова збіжності ряду.

2. Ознаки порівняння.

3. Ознака збіжності Даламбера.

4. Радикальна ознака збіжності Коші.

5. Інтегральна ознака збіжності Коші.

6. Теорема Лейбніца. Оцінка залишку рядів, знаки членів якого чергуються.

7. Абсолютна та умовна збіжність ряду. Властивості абсолютно збіжних рядів.

8. Функціональні ряди. Область збіжності.

9. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал та радіус збіжності.

10. Інтегрування та диференційовання степеневих рядів.

11. Розкладання функцій в степеневі ряди. Ряд Тейлора.

12. Розкладання по степенях х. Функції , cosx, sinx, , .

13. Застосування степеневих рядів до розв’язання диференціальних рівнянь. Наближені обчислення.

14. Розкладання в ряд Фур’є функцій, що задані на інтервалі (- p;p); (- l;l).

15. Розкладання функцій в ряд Фур’є „по косинусам” і „по синусам”