Однородная стенка

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l, м, с внутренним радиусом r ₁ и внешним r ₂. Коэффициент теплопроводности материала постоянен и равен λ. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t _с1 и t _с2, причем t _c1 > t _с2, и температура изменяется только в радиальном направлении. Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось - .

Рисунок – Однородная цилиндрическая стенка.

Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr, ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье количество тепла, проходящего в единицу времени через этот слой, равно:

, ,

. (A)

Разделив переменные в уравнении (А), имеем:

. (B)

После интегрирования уравнения (B) найдем:

. (С)

Подставляя значения переменных на границах стенки (при r = r ₁ t = t _с1 и при r = r ₂ t = t _с2) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу:

; (6.9)

(6.10)

Количество тепла, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины l, либо к единице внутренней F ₁ или внешней F ₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы принимают следующий вид:

; (6.11)

При постоянном значении λ температура изменяется по логарифмической кривой

При отношении d ₂/ d ₁ ≤ 2 расчеты могут проводиться по формулам плоской стенки, имеющей толщину δ = 0,5 (d ₂ – d ₁). Поверхность трубы считается по среднеарифметическому диаметру d_m = 0,5 (d ₂ + d ₁). Погрешность при этом не превышает 1,5 %.