![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1.1. Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.
При этом числа будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.
Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
1.2. Свойства рядов.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда и
, где С – постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд
тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)
3) Рассмотрим два ряда и
. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд
, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды и
сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд
тоже сходится и его сумма равна S + s.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
1.3. Критерий Коши.
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:
.
Доказательство. (необходимость)
Пусть , тогда для любого числа
найдется номер N такой, что неравенство
выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство
. Учитывая оба неравенства, получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда:
Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство
.
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд
является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. при любом n.
1.4. Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 1221 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!