возникающие при замене сферической поверхности плоскостью

Рассуждая теоретически, никакую, даже самую малую часть уровенной поверхности принимать за плоскость нельзя. Но, учитывая, что полевые измерения, а также чертежные работы на бумаге, неизбежно сопровождаются ошибками, практически такие допущения можно делать.

Замена того или иного участка уровенной поверхности горизонтальной плоскостью возможна в том случае, когда ошибки, происходящие от этой замены, не превышают погрешностей в измерениях и построении чертежа вместе взятых. Пусть на рис. 2.7. В^/АВ представляет собой разрез земной поверхности с центром О. Проведем в точке А касательную к шару плоскости С^/АС и плоскость малого круга В^/DВ, перпендикулярную к радиусу ОА = R. Плоскость малого круга В^/DВ отсекает некоторый шаровой сегмент, поверхность которого и подлежит съемке на касательную горизонтальную плоскость С^/АС. Обозначим расстояние по дуге большого круга между точками А и В равным L.

Центральный угол a, соответствующий дуге L, можно определить таким образом:

Рис. 2.7. Замена уровенной поверхности плоскостью

a = 180°· L /p R

Ошибки от замены уровенной поверхности плоскостью помещены в табл. 2.

Таблица 2

Ошибки от замены уровенной поверхности плоскостью

Расстояние, км	Ошибка в расстоянии D L, см	Ошибка по высоте D h, см
	0,001
	0,10
	0,82

Из этой таблицы видно, что без ощутимой для практики погрешности уровенную поверхность можно заменить горизонтальной плоскостью на площади 10 х10 км.

Что же касается ошибок по высоте, то они возрастают настолько быстро, что их необходимо учитывать даже при небольших горизонтальных расстояниях между точками.

2.6. Прямая и обратная геодезические задачи

Прямая геодезическая задача заключается в вычислении координат конечной точки отрезка прямой, если даны координаты начальной его точки, его горизонтальное проложение и дирекционный угол (или румб). Положим, что линия АВ (рис. 2.8) имеет длину d, дирекционный угол a _АВ и прямоугольные координаты начальной точки х _А и у _А. Надо найти х _В и у _В – координаты точки В. Из рисунка видно, что

х _В = х _А + АС;

Рис. 8. Геодезические задачи

у _В = у _А + СВ.

Отрезки АС и СВ называются приращениями прямоугольных координат и обозначаются соответственно Dх и Dу.

Тогда

х _В = х _А + Dх; у _В = у _А + Dу.

Приращения прямоугольных координат геометрически можно представить как ортогональные проекции данного отрезка прямой на соответствующие оси координат; они могут быть как положительные, так и отрицательные. Знак приращений зависит от направления линии, т.е. от ее дирек-

ционного угла.

На основании известных формул тригонометрии напишем

Dх _АВ = d cos a; Dу _АВ = d sin a,

где d – длина горизонтального проложения линии АВ на местности;

a – дирекционный угол линии АВ.

Обратная геодезическая задача состоит в определении дирекционного угла или дирекционного румба отрезка АВ (рис. 2.8) и длины этого отрезка, если даны координаты его начала и конца.

Из рис. 2.8 видно, что

Dх _АВ = х _В – х _А; Dу _АВ = у _В – у _А;

tg r _AB = .

Вычислив по этой формуле величину tg r _АВ, найдем r _АВ и искомый угол a _АВ.

Зная величину a _АВ отрезка, определим длину отрезка АВ.

d = .

Величину d можно вычислить и по теореме Пифагора:

d ² = (x_B – x_A)² + (y_B – y_A)².

Тесты к главе 2

1. Какую форму имеет Земля?

а) шара

б) квазигеоида

в) неправильной сферы

2. Географическими координатами являются?

а) длина и ширина

б) долгота и широта

в) даль и ширь

3. Какая система плоских прямоугольных координат применяется в геодезии?

а) Декартова

б) инженерная

в) Гаусса-Крюгера

4. Что является ориентирующим углом в прямоугольной системе координат?

а) азимут

б) румб

в) дирекционный угол

5. Какая из приведенных формул относится к геодезическим задачам?

а) cos²α + sin²α = 1

б) d = l cos α

в) ∆x =d cos α

6. Линия имеет дирекционный угол 30 градусов и длину 100 м. Чему равны приращения координат?

а) Δ х = 86,6 м; Δ у = 50,0 м

б) Δ х = 50,0 м; Δ у = 50,0 м

в) Δ х = 86,6 м; Δ у = 86,6 м

г) Δ х = 80,0 м; Δ у = 20,0 м