Условия подобия

Критерий π₃ определяет условие выбора материала модели: отношение его проч­ности при сжатии к прочности при рас­тяжении должно быть таким же, как у материала натурной оболочки. Крите­рий подобия яг устанавливает требова­ние геометрического подобия в верти­кальной и горизонтальной плоскости. Однако практически удовлетворить это требование трудно. При толщине обе­чайки современных оболочек 4—6 см даже в случае сравнительно крупно­масштабной модели (l_r ≈1/20) толщи­на ее скорлупы должна составлять 2— 3 мм, что практически неосуществимо по технологическим причинам. Если же ввести два независимых геометричес­ких масштаба— один для горизонталь­ного A_r = B_r = l_r, а другой только для вертикального направления (h_r = δ_r), то критериальный комплекс примет вид π₁=P/Aδσ⁽⁺⁾, индикаторы подобия

I₁=P_rl_rδ_rσ_r⁽⁺⁾ =1;

I₂=(σ^(-) / σ⁽⁺⁾)_r =1

определяют необходимые условия моде­лирования.

Для конкретизации полученных ус­ловий моделирования рассмотрим опре­деленные числовые значения. Пусть размеры натурной оболочки в плане 30X24 м, стрела подъема 5 м, толщи­на 4 см. Проектный класс бетона В50

(R_пр≈28 МПа); арматура класса А-1 (R_а = 235 МПа), ее диаметр d = 6 мм, шаг армирования и = 20 см. Оборудование позволяет испытать мо­дель с максимальным размером в плане до 1,5 м (l_r = 1/20) и толщиной около 1 см (δ_r=1/4), т. е. для натуры

σ_н^(-)= R_пр = 28МПа;

σ_н⁽⁺⁾ = R_aπd²/4δu =235π-0,6²/4 * 4*20 = 0,83 МПа;

(σ^(-) / σ⁽⁺⁾)_н = 28/0,83 = 33.

Последнее отно­шение является единственным техноло­гическим ограничением при изготовле­нии модели. Выполняя модель из раст­вора с фактическим R_np = σ_м^(-) =35,3 МПа и армируя ее проволокой d = 2 мм (R_а = 216 МПа), шаг арматур­ной сетки определяют из условий

где w — прогиб, р — ин­тенсивность распределенной по поверх­ности нагрузки,

D = Eh³/12(1—μ)²

— цилиндрическая жесткость (h — тол­щина пластины, μ— коэффициент Пуассона). Преобразование такого уравнения дает следующие безразмер­ные комплексы:

w_r/l_r⁴ = p_r/D_r;

D_r =E_rh_r³/(1-μ_r²).

Если коэффициент Пуассона материа­лов модели и натуры одинаков (μ _r = 1), то D_r = E_rh_r³ и индикаторами подобия будут

I₁=p_rl_r⁴/w_rE_rh_r³=1;

I₂ =μ_r = 1.

Принимая h_r = l_r, а также полагая, что прогибы малы и геометрическое подо­бие сохранится, установим w_r = h_r = l_r. Тогда индикаторы подобия примут вид

I₁=р_rЕ_r^-1 /w_rE_rh_r³=1;

I₂=μ_r=1.

Если в выражении и ранее полученном индикаторе подобия производные масштабы внешних сил за­менить основными

p_r =P_rl_r^-2,

q_r = P_rl_r^-1,

где Р _r — масштаб сил, то оба выра­жения окажутся иден­тичными:

I=Р_rl_r^-2E_r^-1 = 1.

Таким образом, если для моделиро­вания стержневой системы достаточно было удовлетворить лишь один индика­тор подобия, то в случае двух- и трехосного напряженно­го состояния полное подобие требует выполнения еще одного условия — μ _r =1.

Для обеспечения подобия изучаемых явлений необходимо кроме равенства единице индикаторов подобия обеспе­чить также подобие начальных и гра­ничных условий. Начальные и гранич­ные условия определяют однозначность результатов моделирования. Условия однозначности включают соответствие способа закрепления модели и натуры, заданных на контуре или поверхности сил и перемещений, соответствие пре­дельных соотношений, в рамках кото­рых рассматривается исследуемая рас­четная модель. Например, выбор мас­штаба I _r, входящего в индикатор подо­бия, формально никаких огра­ничений на форму поперечного сечения не накладывает. Однако по существу масштабы длин в направлении высоты и ширины сечения (h_r и b _r) не могут быть заданы произвольно, ибо модель должна оставаться простой балкой и не превращаться в балку-стенку или плас­тину.

При использовании методов моде­лирования для получения условий по­добия рассматриваются следующие исходные уравнения: дифференциаль­ные уравнения равновесия (движения); уравнения совместности деформаций и уравнения связи напряжений и дефор­маций. При моделировании напряженно деформированного состояния упругих изотропных тел преобразование указан­ных систем уравнений позволяет полу­чить следующие индикаторы подобия:

I₁ = σ_rE_r^-1ε_r^-1=1;

I₂ = μ_r=1;

I₃ = l_ru_r^-1ε_r=1;

I₄ = g_rρ_r l_r E_r^-1ε_r^-1=1;

I₅ = ρ_r l_r ²E_r^-1T_r^-2=1;

где и _r — масштаб перемещений, g _r — масштаб ускорения свободного падения, ρ_r — масштаб плотности, Т _r —масштаб времени.

Кроме того, одназначность модели­рования определяется следующими гра­ничными условиями:

u_k,r u_r ^-1=1;

p_r σ_r ^-1=1;

где u_k,r — масштаб заданных на контуре пере­мещений, р _r — масштаб распределенной поверх­ностной нагрузки.

При изучении гибких упругих систем необходимо также соблюдать условие

ε_r=γ_r=1,

где γ_r — масштаб деформаций сдвига.

Условия подобия нестационарного температурного поля θ(х, у, z, Т) в однородном изотропном теле можно по­лучить, проводя преобразования урав­нения теплопроводности Фурье

сρ д θ /dT = λ(д² θ /дx²+д² θ /дy² + д² θ /дz²) + q

и уравнения свободного теплообмена поверхности S с окружающей средой

д θ /dS = α _θ (θ _c — θ)/λ,

где с — удельная теплоемкость материала; λ — теплопроводность; q — плотность внутренних ис­точников тепла, выделяемого ими в единицу объема за единицу времени; α _θ — коэффициент теплопередачи между средой и поверхностью тела; θ _c — температура окружающей среды.

Условия моделирования темпера­турного поля включают шесть инди­каторов подобия:

λ _r Т_r c_r^-1 ρ_r^-1l_r ^-2=1; q_rl_r²λ_r^-1 θ _r=1;

θ _0,r θ _r=1; θ _s,r θ _r^-1=1;

θ _c,r θ _r^-1=1; α_{θ r}l_rλ _r^-1=1.

Масштабы ρ _r, с _r, λ _r определяются вы­бором материала модели. Коэффициент теплопередачи зависит от многих фак­торов и в каждом конкретном случае должен быть получен эксперименталь­но. После того, как установлен масштаб α_{θ r}, геометрический масштаб находят из выражения

l_r=α_θr^-1λ_r

При исследовании температурных напряжений к ранее полученным инди­каторам подобия добавляется еще один

I₆ = σ_rЕ_r^-1α_r^-1 θ _r^-1 = 1,

где α_r — масштаб температурного коэффициента линейной деформации.

Таким образом, при составлении плана эксперимента и проектировании модели для изучения задачи термоупру­гости необходимо рассматривать сов­местно весь комплекс индикаторов по­добия, при этом началь­ные и граничные температурные усло­вия оказываются взаимосвязанными с граничными статическими и кинемати­ческими условиями.

Рассмотренные условия моделиро­вания в рамках полного линейного по­добия содержат большой набор индика­торов, предельных соотношений и т. д., одновременное выполнение которых сопряжено со значительными техничес­кими трудностями, либо оказывается вообще невозможным. Поэтому в прак­тике моделирования инженерных конст­рукций широкое распространение полу­чило приближенное подобие. В отличие от полного подобия, когда все индика­торы подобия, включая масштабы без­размерных величин, равны единице, при приближенном моделировании допус­кается нарушение соответствия между моделируемым объектом и моделью в части некоторых параметров, если такое искажение подобия не очень существен­но для рассматриваемой задачи, либо может быть оценено аналитически или экспериментально. При этом всесторон­ней оценке неизбежных погрешностей моделирования должно уделяться боль­шое внимание, чтобы не допустить вы­рождения подобия и получения оши­бочных результатов.

Факторы, в отношении которых не соблюдается подобие, могут быть разно­образными: невоспроизведение на моде­ли технологических особенностей сое­динений и остаточных напряжений в элементах конструкций; различие свойств материалов модели и оригина­ла, приближенное подобие геометричес­кой формы и распределения действую­щих усилий (например, от собственного веса), увеличенные по отношению к на­туре деформации модели и т. д. Рас­смотрим некоторые наиболее распрост­раненные случаи приближенного моде­лирования.

Моделирование при μ_r≠1. Учет влияния неодинаковых значений коэффи­циента Пуассона материалов модели и натуры можно провести несколькими способами. Для плоского напряжен­ного состояния С. Г. Лехницким было предложено изготовлять две моде­ли с существенно разными коэффициен­тами Пуассона μ_M1 и μ_{M 2}, при этом масштабы геометрического и силового подобия моделей могут быть любыми. Напряжение в натурном объекте σ_н определяется как разность эксперимен­тально полученных напряжений σ_M1 и σ_{M 2} в сходственных точках каждой мо­дели, компоненты которых умножены на соответствующие корректирующие коэффициенты и константы подобия. Например, в частном случае обобщен­ного плоско-напряженного состояния, когда натура и обе модели геометричес­ки тождественны, масштаб сил р_r=1,

σ_н = σ_м1(μ_н — μ_м2) /(μ_м1 — μ_м2)- σ_м2(μ_н — μ_м1) /(μ_м1 — μ_м2).

Одним из распространенных прие­мов оценки погрешностей моделирова­ния, обусловленных различием коэффи­циента Пуассона материалов модели и натуры, является построение функций влияния выражений, входящих в реше­ния задач теории упругости: l+μ; 1—μ²; μ/(1—μ); 1—2μ и др. Такие функции влияния позволяют для опре­деленного диапазона соотношений ком­понентов деформаций (ε₂/ε₁, ε₃/ε₁) оце­нивать масштаб выражений, содержа­щих μ. Например, анализ масштаба (1 — μ²)_r в уравнении изгиба пластинок, защемленных или шарнирно опертых по контуру, показал, что при исследовании стальной пластины (μ_н = 0,28) на моде­ли из органического стекла (μ_м = 0,36) погрешность определения напряжений может достигать 30%, а при коэффи­циенте Пуассона модели μ_м = 0,5 до 80%.

Наибольшие погрешности прибли­женного моделирования в отношении невыполнения условия μ_r=1 следует ожидать в тех областях исследуемого объекта, где велико среднее напряже­ние σ_ср. Прежде всего это относится к трехмерному растяжению, возникаю­щему вблизи концентраторов напряже­ний (отверстий, надрезов) в растянутых толстостенных элементах.

В том случае, когда технологичес­кие трудности не позволяют воспроиз­водить в модели поперечное сечение требуемой формы и размеров, как это имело место при моделировании несу­щей способности оболочки, либо, когда для повышения точности измерений необходимо увеличить деформации мо­дели, приходится использовать геомет­рически аффинное подобие. Следует, однако, иметь в виду, что полное гео­метрическое подобие становится совер­шенно обязательным, например, при исследовании устойчивости элементов конструкций.

При необходимости аффинного преобразования формы сечения упругой пластины связь между масштабами длин в направлении координатных осей и масштабом деформации ε_r можно получить с помощью преобразования следующих уравнений;

ε_x=— zd²w/dx²; ε_у = —zd²w/dy²;

γ_xy = — 2zd²w/dxdy.

Если масштабы в направлении осей x и у (в плоскости пластины) равны x_r = y_r = l_r и, следовательно, ε_{x ,r} = ε_{y ,r} = γ_{xy, r}=ε_r, то с учетом того, то z_r = w_r = h_r, выражение преобразуется к виду

ε_r= z_r w_r/l_r²= h_r²/l _r²

где h_r — масштаб толщины пластины.

Обычно по техническим причинам бывает необходимо увеличить масштаб в направлении толщины пластины h_r> l _r; при этом соответственно увели­чиваются масштабы ε_r > 1 и w_r> 1. Такое увеличение деформаций и пере­мещений элементов модели позволяет повысить точность измерения этих пара­метров. При моделировании статически определимых систем увеличение мас­штаба деформаций ε_r > 1 вполне допус­тимо при условии, если за счет увели­ченных перемещений не возникнут до­полнительные связи, превращающие систему в статически неопределимую.

Приближенное подобие сил тяжести. Если модель и натура выполнены из одинакового материала, то согласно I₄ = g_rρ_rl_rE_r^-1 ε_r^-1, полное подобие напряжений, вызванных действием соб­ственного веса, реализуется лишь при l_r =1, т. е. невозможно даже масштаб­ное моделирование.

Подобие распределения деформаций в модели и натуре (ε_r — 1) выполняется при

l_r = Е_r/ γ_r,

где γ_r =g_rρ_r — масштаб объемного веса соот­ветствующих материалов.

Следовательно, выбор материала модели (Е/ γ) _r одновременно опреде­ляет и требуемый геометрический мас­штаб модели. Например, при исследова­нии стальной конструкции с помощью модели, выполненной из органического стекла, масштаб (Е/ γ) _r≈ 1/10—1/15; таким же должен быть и геометри­ческий масштаб, если необходимо обес­печить подобие распределения дефор­маций. В случае, когда требуется уве­личить масштаб деформаций, чтобы по­высить точность их измерения, стремят­ся подобрать для модели более низко­модульный материал, либо увеличить геометрический масштаб (например, до 1/5 вместо указанного выше 1/10—1/15). Если необходимо изготовить мо­дель из того же материала, что и нату­ра, или когда нет возможности выпол­нить ее в требуемом геометрическом масштабе, увеличивают силу тяжести путем центрифугирования модели или дополнительный собственный вес соз­дают соответствующим образом распре­деленными внешними нагрузками.

Если целью испытаний является моделирование только напряженного состояния сооружения от действия соб­ственного веса, то плотность материа­ла модели должна быть увеличена обратно пропорционально ее геометри­ческому масштабу

l_r = γ_r^-1.

Для увеличения массы цементного раст­вора или гипса в качестве заполнителя используют свинцовую дробь.

При проведении исследований за пределами упругости модель следует, по возможности, изготовить из того же материала, что и натурную конструк­цию. В этом случае неполное подобие напряженного состояния может быть обусловлено только масштабным эф­фектом. Природу масштабного эффекта связывают с технологическими факто­рами, поскольку они по-разному влияют на однородность и механические свой­ства материала в зависимости от фор­мы и размеров сечений, а также с за­пасом упругой энергии, накопленной в деформируемой системе. Эта энергия, естественно, возрастает с увеличением размеров конструкции и способствует более быстрому протеканию реологи­ческих процессов.

Согласно статистическим гипотезам в теле имеется большое число дефектов различной степени опасности, которые подчиняются некоторому распределе­нию. Чем крупнее тело, тем больше ве­роятность обнаружить первичный эле­мент низкой прочности и тем ниже проч­ность тела в целом. Следовательно, с помощью статистических гипотез можно объяснить лишь влияние мас­штабного эффекта на прочность хрупких тел, но не на их напряженное состояние.

В упругопластической стадии дефор­мирования увеличение размеров геомет­рически подобных элементов, выпол­ненных из одинакового материала и нагруженных с соблюдением условий подобия, приводит к изменению харак­тера напряженного состояния и к непро­порциональному (σ_r/l_r≠1) преобразо­ванию градиентов напряжений. С уве­личением масштаба модели влияние всех перечисленных факторов снижает­ся и, начиная с какого-то предела, ста­новится несущественным. Поэтому при моделировании работы конструкций в упругопластической стадии деформи­рования при выборе масштаба модели необходимо обязательно проводить оценку влияния рассмотренных фак­торов.

Если при моделировании напряжен­ного состояния конструкций в неупру­гой области материал модели отли­чается от натурного, то комплекс инди­каторов подобия оказывается уже недостаточным. Введение дополни­тельных условий моделирования суще­ственно затрудняет проведение таких исследований.

Сравнительно просто осуществля­ется моделирование лишь в частном случае, когда характер диаграмм «σ— ε» деформирования материалов модели и натуры соответствует схеме Прандтля. В этом случае за пределами пропор­циональности μ_r= 1 (поскольку для ма­териалов и натуры, и модели μ = 0,5) масштаб напряжений равен масштабу пределов пропорциональности этих ма­териалов — (σ_пц)_r.

Кроме подобия диаграмм «σ— ε» нужно отметить еще две особенности моделирования в неупругой области. Во-первых, масштаб напряжений — пе­ременная величина, определяемая для каждой исследуемой точки конструкции с помощью принятой диаграммы дефор­мирования. Во-вторых, за пределами упругости коэффициент поперечной де­формации μ также величина перемен­ная. Поэтому условие μ_r= 1 реализуется лишь при полной идентичности за­висимостей μ — ε, построенных для ма­териалов модели и натуры. Удовлетво­рить это условие обычно не удается. В последние годы разрабатываются специальные модельные полимерные материалы (поликарбонат и др.), диаграммы деформирования которых подобны определенным металлическим сплавам.