Задание 6. Складская логистика

Для решения одной из фундаментальных логистических задач — опре­деления месторасположения склада в регионе — необходимо знать:

· месторасположение (координаты ) фирм-производителей и потребителей (клиентов) данной продукции;

· объемы поставок продукции ();

· маршруты доставки (характеристику транспортной сети);

· затраты (или тарифы) на транспортные услуги ().

В зависимости от выбранного критерия оптимизации и учета рас­стояний между поставщиками, потребителями и складом рассматри­ваются следующие типовые случаи.

Первый вариант. Месторасположение распределительного склада определяется в виде координат центра тяжести грузовых пото­ков по формулам:

	(6.1)
	(6.2)

где — координаты распределительного склада, км;

— объем (вес) груза, т;

— соответственно расстояние от начала осей коор­динат до расположения поставщика или клиента, км.

Второй вариант. Месторасположение склада определяется как «центр равновесной системы транспортных затрат». Расчет координат склада производится по формулам:

	(6.3)
	(6.4)

где — транспортный тариф для -го поставщика или потребителя (клиента), руб./ткм.

Суммирование производится от до , где — общее количество поставщиков и потребителей.

Очевидно, что при , формулы (6.1)-(6.4) совпадают.

С другой стороны, транспортные тарифы в формуле (6.3), (6.4) играют роль весовых коэффициентов, которые могут принимать раз­личные значения и, следовательно, расширяют возможности учета различных факторов по сравнению с формулами (6.1), (6.2). Однако не следует забывать, что тарифы функционально связаны с грузообо­ротом (ткм) и объемом перевозок (т), поэтому их упрощенный учет в расчетных зависимостях требует дополнительного обоснования либо введения более сложных зависимостей.

Рассмотрим пример расчета координат склада по первому и второ­му вариантам. Исходные данные о координатах расположения постав­щиков и клиентов приведены в табл. 6.1; здесь также представле­ны вспомогательные расчеты.

Исходные данные	Координаты склада
По формулам 6.1-6.2	По формулам 6.3-6.4
		0,8
		0,5
		0,6

При подстановке значений в формулы (6.1), (6.2) находим:

Второй вариант расчета, формулы (6.3), (6.4) дает:

Приведенные на рис. 6.1 местоположения складов показывают, что в данном конкретном случае их координаты различаются незначи­тельно.

Рис. 6.1. Расположение поставщиков П, клиентов К и складов (С₁ — первый вариант; С₂ — второй вариант)

Третий вариант. Координаты склада определяются исходя из условия, что сумма расстояний от данных точек с учетом спроса до точки () — координат склада — была минимальной. Целевая функция записывается в виде:

(6.5)

где — координаты -гo поставщика или потребителя.

Принципиальное отличие третьего варианта заключается в том, что, во-первых, он сформулирован как классическая оптимизационная за­дача, во-вторых, расстояние между складом и другими объектами опре­деляется как «гипотенуза», тогда как в задачах первом и втором вари­антах рассматриваются расстояния по осям и .

Для нахождения координат склада используется аналитический метод, согласно которому на первом этапе определяется система из 2 уравнений в виде частных производных функций Р(х, у):

(6.6)

Поскольку решение данной системы затруднено, на втором этапе используется итерационный метод. Так, первое приближение для рассчитывается подформуле:

(6.7)

Входящее в формулу определяется из уравнения:

(6.8)

На третьем этапе значения подставляются во второе уравнение системы (6.6) для частной производной по У и находится первое при­ближение для Затем подставляется в уравнение для частной производной по X и находится второе приближение и т. д. до тех пор, пока разница итераций и не станет меньше достаточно малого положительного числа Е.

Рассмотрим подход, основанный на непосредственном поиске ми­нимума функции (6.5). Исходные данные для расчетов приведены в табл. 6.1.

Для примера рассчитаем величину транспортной работы при пере­возках от производителей на склад и со склада клиентам. Используя метод направленного перебора, задавшись размерами полигона 600х600 км (значения ) и выбрав в ка­честве координат склада следующие значения: км, км. Тогда по формуле (6.5) для первого постав­щика ( км, км) находим:

Результаты расчетов для всех поставщиков и клиентов при­ведены в табл. 6.2:

Таблица 6.2 Определение транспортной работы при различных координатах склада.

Х=0 км.;У=0 км.
	Координаты, км.
			575,0	172500,0
			583,1	145773,8
			813,9	122091,2
			195,3	29288,4
			407,0	30522,8
			485,4	60676,5
			509,9	50990,2
			813,9	122091,2
Сумма				733934,1
Х=25 км.;У=0 км.
			575,5	172663,0
			570,6	142658,9
			797,3	119589,1
			176,8	26516,5
			390,5	29288,4
			465,0	58128,4
			485,4	48541,2
			795,7	119353,7
Сумма				716739,3
Х=50 км.;У=0 км.
			577,2	173150,9
			559,0	139754,2
			781,0	117153,7
			160,1	24011,7
			375,0	28125,0
			445,1	55639,0
			461,0	46097,7
			777,8	116672,6
Сумма				700605,0
Х=75 км.;У=0 км.
			579,9	173961,2
			548,3	137073,2
			765,3	114789,2
			145,8	21866,1
			360,6	27041,6
			425,7	53216,8
			436,6	43660,6
			760,3	114051,8
Сумма				685660,6
Х=100 км.;У=0 км.
			583,6	175089,3
			538,5	134629,1
			750,0	112500,0
			134,6	20194,4
			347,3	26048,3
			407,0	50871,3
			412,3	41231,1
			743,3	111495,5
Сумма				672059,0
и так далее.
……………………………………………………………….
Х=550 км.;У=0 км.
			795,7	238707,5
			559,0	139754,2
150
		600,0	90000,0
			419,1	62861,5
			407,0	30522,8
			313,2	39156,1
100
		111,8	11180,3
			552,3	82840,2
Сумма				695022,6
Х=575 км.;У=0 км.
			813,2	243951,8
250
		570,6	142658,9
			600,5	90078,1
			443,0	66450,2
75
		424,3	31819,8
			326,0	40745,0
			125,0	12500,0
			550,6	82585,2
Сумма				710789,0
Х=600 км.;У=0 км.
			831,0	249311,6
			583,1	145773,8
150
		602,1	90312,0
			467,0	70055,8
			442,3	33172,1
			340,0	42504,6
			141,4	14142,1
			550,0	82500,0
				727772,0

При этом минимальные объмы транспортной работы были зафиксированы при Х=300 и У=0 км. Зафиксируем параметр Х на рассчитанной величине и продолжим наши исследования:

Х=300 км.; У=25 км.
	Координаты, км.
			626,5	187949,5
			475,0	118750,0
			627,0	94049,5
			180,3	27041,6
			276,1	20710,1
			269,3	33657,3
			213,6	21360,0
			604,7	90700,4
Сумма				594218,4
Х=300 км.;У=50 км.
			604,7	181400,8
			450,0	112500,0
			604,2	90622,8
			167,7	25155,8
			251,2	18843,5
			246,2	30777,7
			206,2	20615,5
			583,1	87464,3
Сумма				567380,4
Х=300 км.;У=75 км.
			583,1	174928,6
			425,0	106250,0
			581,5	87222,8
			158,1	23717,1
75
		226,4	16978,8
125
		223,6	27950,8
			201,6	20155,6
			561,8	84270,8
Сумма				541474,5
и так далее.
……………………………………………………………….
Х=300 км.;У=450 км.
			325,0	97500,0
			50,0	12500,0
			291,5	43732,1
			357,9	53691,8
			152,1	11405,2
			201,6	25194,6
			403,1	40311,3
			316,2	47434,2
				331769,2
Х=300 км.;У=475 км.
			316,2	94868,3
			25,0	6250,0
			279,5	41926,3
			380,8	57118,3
			176,8	13258,3
			223,6	27950,8
			425,0	42500,0
			309,2	46384,9
Сумма				330256,9
Х=300 км.;У=500 км.
			309,2	92769,9
			0,0	0,0
			269,3	40388,7
			403,9	60583,1
			201,6	15116,7
			246,2	30777,7
			447,2	44721,4
			304,1	45620,7
Сумма				329978,2
Х=300 км.;У=525 км.
			304,1	91241,4
			25,0	6250,0
			261,0	39151,1
			427,2	64080,0
			226,4	16978,8
			269,3	33657,3
			469,7	46970,7
			301,0	45156,0
Сумма				343485,5
и так далее.
……………………………………………………………….
Х=300 км.;У=600 км.
			301,0	90312,0
			100,0	25000,0
			250,0	37500,0
			498,1	74718,2
			301,0	22578,0
			340,0	42504,6
			538,5	53851,6
			304,1	45620,7
Сумма				392085,1

Таким обазом видим, что минимальная транспортная работа достигается при координатах склада

Итогом расчетов является сводная таблица координат склада, полученных по различным вариантам расчета:

Таблица 6.3. Расчет координат регионального склада

Вариант расчета	Координаты склада, км
Х	У
Первый способ
Второй способ
Третий способ

Исходные данные

Вариант №

Координаты клиентов

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

X1

Y1

X2

Y2

X3

Y3

X4

Y4

X5

Y5

X6

Y6

X7

Y7

X8

Y8

Последняя цифра № зач.кн.	Транспортный тарив, грн	Грузопоток
Q1	Q2	Q3	Q4	Q5	Q6	Q7	Q8
	5,21
	3,43
	4,85
	5,01
	3,68
	3,12
	2,97
	4,11
	3,84
	4,06

Задание № 7. Транспортная задача. Метод Фогеля.

Цель занятия — ознакомится с методом Фогеля и методом Свира.

Задание: Используя данные таблицы 7.1, решить задачу для варианта, соответствующего последней (х) и предпоследней (хх) цифре шифра зачетной книжки, используя способ решения, пример которого приведен ниже. Выполнить маршрутизацию перевозок, используя метод Свира, принимая дислокацию пунктов относительно друг друга в соответствии с рис. 7.1.

Таблица 7.1. Исходные данные для расчета.

№ варианта	Ресурсы поставщиков, т	Способ потребителей, т	Грузоподъемность трансп. средств, т	№ варианта
Х												ХХ
	2,0	4,0	0,3	0,35	0,5	1,6	0,6	0,7	0,95	1,0
	2,7	3,85	0,5	0,4	0,25	0,9	1,7	0,8	0,9	1,1
	2,0	4,2	0,2	0,3	0,6	0,9	1,0	0,9	1,1	1,2	2,5
	2,1	3,7	0,2	0,35	0,4	1,55	0,65	0,55	1,1	1,0	2,5
	2,05	3,65	0,3	0,25	1,5	0,45	0,6	0,5	1,1	1,0	2,2
	2,25	3,45	0,45	0,25	0,3	1,5	1,1	0,5	1,0	0,6	2,2
	2,5	3,1	0,6	0,3	0,4	1,0	0,5	0,9	0,8	1,1	2,2
	1,9	3,5	0,7	0,4	0,5	1,1	0,5	0,6	0,7	0,9	2,5
	2,2	3,0	0,2	0,5	0,3	0,6	1,1	0,8	0,7	1,0	2,2
	2,85	3,7	0,4	0,5	0,35	1,0	1,6	0,7	1,1	0,9

Основные теоретические положения и порядок выполнения работы

Пример решения задания:

Объем перевозок груза и расстояние между грузообразующими и грузопоглащающими пунктами.

Таблица 7.2.

Пункт погрузки, объем перевозок									Итого
Пункты разгрузки
, т	0,25	0,3	0,45	1,5	0,5	0,6	1,0	1,1	5,7
	2,05									-
	3,65									-

Решим транспортную задачу методом Фогеля. В каждой строке и столбце матрицы кратчайших расстояний найдем два наименьших элемента и определим абсолютную разность между ними. Например, для первой строки, относящейся к первому пункту погрузки, значения наименьших элементов равны 10 км, таким образом, разность равна нулю. Затем выбираем наибольшую величину разности и в клетку с минимальным элементом заносим максимально возможную загрузку, учитывая при этом ресурсы поставщика и спрос потребителя. При наличии двух одинаковых наибольших разностей загрузку записывают в клетку, имеющую наименьший элемент (табл. 7.2). Если окажется, что спрос потребителя полностью удовлетворен или ресурс поставщика полностью исчерпан, то данная строка или столбец из дальнейшего рассмотрения исключается.

Наибольшая разность равна шести, минимальный элемент — 11, из пункта в пункт перевозится максимально возможный объем — 1,5 т груза. Спрос потребителя полностью удовлетворен, поэтому данный столбец из дальнейшего рассмотрения исключается. Необходимо пересчитать разности (табл. 7.3).

В табл. 6.3. наибольшая разность — 6, минимальный элемент — 12, таким образом, из пункта в пункт перевозится максимально возможный объем — 0,3 т груза. Далее операция повторяется до тех пор, пока не будет составлена допустимая программа распределения (табл. 7.4.).

Определение первого загруженного элемента

Таблица 7.3.

Объем перевозок, пункт погрузки	Пункты разгрузки	Столбец разностей
, т	0,25	0,3	0,45	1,5	0,5	0,6	1,0	1,1
	2,05
	3,65
Строка разностей

Определение второго загруженного элемента

Таблица 7.4.

Объем перевозок, пункт погрузки	Пункты разгрузки	Столбец разностей
, т	0,25	0,3	0,45	0,5	0,6	1,0	1,1
	0,55
	3,65
Строка разностей

Определение третьего загруженного элемента

Таблица 7.5.

Объем перевозок, пункт погрузки	Пункты разгрузки	Столбец разностей
, т	0,25	0,45	0,5	0,6	1,0	1,1
	0,55-0,3=0,25
	3,65
Строка разностей

Наибольшая – 5, минимальный элемент – 10, из в перевозится 0,6.

Определение четвертого загруженного элемента

Таблица 7.6.

Объем перевозок, пункт погрузки	Пункты разгрузки	Столбец разностей
, т	0,25	0,45	0,5	1,0	1,1
	0,25
	3,65-0,6=3,05
Строка разностей

Наибольшая – 2, наименьший элемент – 8, из в – 1,1 остаток 3,05 - 1,1=1,95.

Определение пятого загруженного элемента

Таблица 7.7.