Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x₀) = y₀.

Выберем шаг h и введём обозначения:

x_i = x₀ + i^.h и y_i = y(x_i), где i = 0, 1, 2, …,

x_i – узлы сетки,

y_i- значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.

Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: A(x_i, y_i), C(x_i+h/2, y_i+h/2*f(x_i,y_i)) и B(x_i+1, y_i+1).

2. Через точку А проведем прямую под углом α, где

3. На этой прямой найдем точку C(x_i+h/2, y_i+h/2*f(x_i,y_i)).

4. Через точку С проведем прямую под углом α1, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку В(x_i+1, y_i+1). Будем считать В(x_i+1, y_i+1) решением дифференциального уравнения при x=x_i+1.

7. После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения y_i+1:

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина ε1 характеризует погрешность метода Эйлера, а ε – погрешность метода Эйлера модифицированного.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным приведена на рисунке 5.

Рисунок 5. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным.

4.5 Метод Рунге – Кутта 4-го порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x₀) = y₀.

Выберем шаг h и введём обозначения:

x_i = x₀ + i^.h и y_i = y(x_i), где i = 0, 1, 2, ….

Аналогично описанным выше методам производится решение дифференциального уравнения. Отличие состоит в делении шага на 4 части.

Согласно методу Рунге – Кутта четвёртого порядка, последовательные значения y _i искомой функции y определяются по формуле:

где

, i = 0, 1, 2, …

а числа k₁⁽ⁱ⁾, k₂⁽ⁱ⁾, k₃⁽ⁱ⁾, k₄⁽ⁱ⁾ на каждом шаге вычисляются по формулам:

Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

Методы Рунге – Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.

На рисунке 6 приведена блок-схема процедуры RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y) для решения задачи Коши описанным выше методом Рунге – Кутта.

RUNGE4(X0, XK, Y0, N, Y)

F(x, y) – заданная функция – должна быть описана отдельно. Входные параметры: X0, XK – начальное и конечное значения независимой переменной; Y0 – значение y0 из начального условия y(x0) = y0; N – количество отрезков разбиения; Выходные параметры: Y – массив значений искомого решения в узлах сетки;

h = (XK – X0) / N

i = 0, …, N-1

x = X0 + i * h

K1 = h * F(x, Yi)

K2 = h * F(x + h/2, Yi + K1 / 2)

K3 = h * F(x + h/2, Yi + K2 / 2)

K4 = h * F(x + h, Yi + K3)

K = (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4) / 6

Y_i+1 = Y_i + K

End

Рисунок 6. Блок-схема процедуры RUNGE

На рисунке 7 приведена блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши и получения результатов с фиксированным количеством отрезков разбиения N. В основной программе происходит обращение к процедуре RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y), вычисляющей значения искомой функции y_j в точках x_j методом Рунге – Кутта.

Исходными данными в данной задаче являются:

X0, XK – начальное и конечное значения независимой переменной;

Y0 – значение y₀ из начального условия y(x₀) = y₀;

N – количество отрезков разбиения.

Результаты работы программы выводятся в виде двух столбцов:

X – массив значений узлов сетки;

Y – массив значений искомого решения в соответствующих узлах сетки.

Ввод X0, XK, Y0, N

RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y)

h = (XK – X0) / N

i = 0 … N

X = X0 + i * h

Вывод X, Y_i

End

Рисунок 7. Блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши с фиксированным количеством отрезков разбиения N