Численные методы решения задачи Коши

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [ x₀, X ] – области непрерывного изменения аргумента х множеством , состоящего из конечного числа точек x₀ < x₁ < … < x_n = X – сеткой.

При этом x_i называют узлами сетки.

Во многих методах используются равномерные сетки с шагом

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [ x₀, X ], заменяется её дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y₁, y₂, …, y_n – приближённые значения функции в узлах сетки.

(4.1)

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

· Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y = f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге – Кутта.

· Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой y = f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса – Башфорта и Хемминга.

· Явные методы, в которых функция Ф в выражении (4.1) не зависит от y_n+1.

· Неявные методы, в которых функция Ф зависит от y_n+1.