Раздел 1. РасчЁты при растяжении-сжатии 4 страница

и после сокращения это уравнение принимает вид

. (1.20)

Так как не требуется определить реакции в жёсткой опоре K, составим только одно уравнение равновесия ∑ мом К = 0:

или ,

. (1.21)

Решаем систему уравнений (1.20) и (1.21): подставив из (1.20) в (1.21), получим

.

Отсюда найдём , и по (1.20) .

Положительные знаки и указывают на то, что выбранные направления их верны.

а
б
в

Рис. 1.8

г
д

Рис. 1.8 (окончание)

2. Подбор размеров сечений стержней.

Необходимые размеры поперечных сечений стержней определяют из условий прочности по допускаемым напряжениям или по предельному со­стоянию. В случае неодинакового сопротивления материала растяжению и сжатию условие прочности по допускаемым напряжениям имеет вид:

Для нашего примера это условие прочности по допускаемым напряжениям запишем как

или

Отсюда получим два значения F:

и .

Чтобы удовлетворить оба уравнения прочности выбираем бóльшее значение и округлив его, принимаем , .

Найдём величины и по методу предельного состояния. При рас­чёте по предельному состоянию учитываются пластические свойства металла. Считаем, что при действии внешних сил напряжения во всех стержнях равны пределу текучести , а усилие в каждом стержне равно . Такое стоя­ние системы будет предельным, так как может вывести её из строя.

Усилия в стержнях и . Выразим и через пре­дельное (т. е. самое минимальное) значение площади сечения , при котором и возникает предельное равновесие: , . Тогда и запишем как и .

Составим уравнение предельного равновесия, в которое войдут как внешняя нагрузка, так и усилия и . Как и выше, воспользуемся уравнением ∑мом К = 0, оно принимает вид:

Отсюда найдём предельное значение

.

Допускаемые значения площади сечения стержней , при которых система будет безопасной, можно найти, используя коэффициент запаса прочности n: увеличиваемполученное значение в n раз, т. е. . В нашем случае . Тогда принимаем площади сечений и . Как и следовало ожидать, эти величины F получились меньше, чем по методу допускаемых напряжений.

3. Вычисление температурных напряжений.

Найдём напряжения , появляющиеся при повышении температуры среды на 15ºС. В статически неопределимых системах с повышением темпе­ратуры окружающей среды уже при отсутствии внешней нагрузки возникают напряжения, так как каждый стержень стремится удлиниться на величину , а этому препятствует другие стержни и опоры системы (рис. 1.8, д). В резуль­тате в стержнях возникают продольные усилия . Здесь деформация каждого стержня слагается из температурной и деформации, получен­ной от возникающего продольного усилия и равной

, т. е. деформация стержня .

Методика определения усилий и напряжений остается прежней, как и при нахождении усилий N и напряжений от внешней нагрузки.

Пусть при повышении температуры брус АВ займет положение А ₁ В ₁. То­гда стержень АС получит сжатие на величину = АА ₁, а стержень DВ - растя­жение на = ВВ ₂ (рис. 1.8, д). Предположим направление усилий и растягивающими и запишем деформации стержней:

, .

Уравнение равновесия ∑мом К = 0 и уравнение перемещений образуют систему следующих уравнений:

Отсюда вычисляем температурные усилия

,

.

Как видно, стержни АС и DВ испытывают сжатие, при котором возникают температурные напряжения

,

.

Задача 6. Проверочный расчёт ступенчатого бруса

Для ступенчатого бруса (рис. 1.9) известна внешняя нагрузка, заданы площади поперечного сечения и длины участков.

Требуется:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, от­носительных деформаций e и продольных перемещенийδ. Принять модуль упругости E =2∙10⁵Мпа.

2. Указать опасное сечение и значениеσ_max, проверить прочность при допускаемом напряжении [σ]=200Мпа. Если условие прочности не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

3. Указать значения e_maxиδ_max, проверить жёсткость при допускаемой относительной деформации [e] = 0,005 и допускаемом продольном переме-щении [δ] = 0,5 мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

4. Для опасного сечения бруса вычислить касательные τ _α и нормальные s _α напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α = 45⁰ к оси бруса.

Решение

1. Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений, от­носительных деформаций и продольных перемещений

В этой задаче использована унифицированная схема ступенчатого бруса при растяжении-сжатии, которая изображена на рис. 1.9. В ней в начале каждого участка приложены сосредоточенные силы Р, на каждом участке действует распределённая нагрузка интенсивности q_.. Принимаем следующее правило знаков нагрузки: за положительное считаем растягивающее направление.

Рис. 1.9

Выполним расчёт при следующих значениях. Сосредоточенные силы в начале участковравны Р ₁ = -60кН и Р ₂=0; интенсивность распределённой нагрузки по участкам q ₁=0 и q ₂=150кН/м; длины участков 1 ₁=0,5м и 1 ₂=0,6м, площади сечений участков F ₁=6см² и F ₂=5см².

Сначала по исходным данным изобразим в масштабе заданный брус и действующую на него нагрузку (рис. 1.10, б). Брус разделим на два грузовых участка, здесь нумерацию участков удобно брать со свободного края, поэтому начало 1-го участка положим на торце бруса.

Для оценки прочности и жёсткости бруса, которые выполняются в 1-м, 2-м, и 3-м пунктах задачи, необходимо иметь значения продольных сил N, напряжений σ деформаций ε и перемещений δ на каждом участке. Запишем алгебраические выражения и подсчитаем значения этих величин, используя метод сечений и формулы напряжений и деформаций.

1 -й участок: z _{1 1}= 0,5м. Запишем для текущего сечения (рис. 1.10, а, б), удалённого от начала 1-го участка на расстоянии z ₁, продольную силу N ₁, напряжение σ₁и относительную деформацию ε₁. Используя формулу продольной силы (1.2) для унифицированного нагружения, формулу напряжений (1.3) и закон Гука, по которому , получаем

кН, МПа,

.

2 -й участок: z _{2 2}= 0,6м. В текущем сечении 2-го участка (рис. 1.10, а, б), удалённом от его начала на расстоянии z ₂, согласно (1.2), (1.3) и закона Гука, имеем

,

при кН, при кН;

,

при МПа, при МПа;

,

при , при .

Используя полученные значения продольных сил, напряжений, относительных деформаций, построим эпюры этих величин непосредственно под брусом и подпишем их характерные значения (рис. 1.10, в, г, д).

Перейдём к перемещениям δ, необходимым для решения 3-го пункта задачи. Составим выражения продольных смещений δ характерных поперечных сечений А, В, С. Для этого необходимо знать абсолютные

а
б
в
г
д
е

Рис. 1.10

деформации участков , которые вычисляются по формуле (1.6) как

. Подставим полученные значения продольных сил N ₁ и N ₂, заданные площади сечения и длины участков, получаем следующие абсолютные деформации участков:

= 0,25·10^-3м= 0,25мм;

м= 0,09мм.

Зная абсолютные деформации участков, подсчитаем продольные смещения указанных характерных сечений. Реальное перемещение сечения заделки отсутствует,поэтому запишем перемещениеδ _А = 0.

Первое сечение 2-го участка (сечение В) получило перемещение δ _В, которое равно деформации этого участка: δ _В = мм. Первое сечение 1-го участка (это сечение С) получило перемещение

мм.

В нашем примере наклонная прямая на эпюре N (рис. 1.10, в) пересекает ось на расстоянии z _o от начала 2-го участков (обозначим это сечение К). Как известно, на эпюре перемещений в этом сечении ожидается экстремум − перегиб кривой перемещений. В сечении К сила N= . Отсюда абсцисса этого сечения равна м. Необходимое значение экстремального перемещения δ _К (перемещения при z=z _о) определяем на основании (1.7) как разницу между перемещением первого сечения и деформацией куска z _о. При этом для деформации куска z _о используем полученное ранее выражение деформации 2-го участка, но только в нём укажем пределы интегрирования от 0 до z _о=0,4м. Вычисление в миллиметрах выглядит в следующем виде:

мм.

Отложив полученное значение от базисной линии на эпюре переме-

щений (рис. 1.10, е), проводим кривую с перегибом в сечении К.

2 и 3. Проверка условий прочности и жёсткости бруса

Теперь для ответа на пункты 2 и 3 назовём максимальные напряжения σ_max, деформации ε_max, перемещения δ_мах и сделаем выводы о прочности и жёсткости бруса при заданных величинах допускаемых напряжений [σ]=200МПa, деформаций [ε]=0,005 и перемещений [δ] = 0,5мм.

Условие прочности имеет вид

σ_max = 100МПа < [σ] = 200MПa,

и, следовательно, прочность бруса обеспечена; запишем условие жёсткости:

ε_max = < [0,0006] = 0,005, δ_max= 0,34мм < [δ] = 0,5мм,

значит, жёсткость бруса обеспечена.

4. Вычисление напряжений в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательные τ_α и нормальные s_α напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α=45⁰ к оси бруса. Опасным сечением является сечение, в котором нормальные напряжения максимальны по абсолютной величине: в нашем примере равноопасны все сечения 2-го участка и σ_max=100МПа. Вычислим напряжения в наклонной площадке по (1.10):

МПа, МПа.

Как видно, эти напряжения не превышают допускаемых значений, и прочность в наклонной площадке под углом α=45⁰ к оси бруса обеспечена.

Задача 7. Проверочный расчёт ступенчатого