Раздел 1. РасчЁты при растяжении-сжатии 3 страница

Вычислим продольную деформацию участка CK:

.

Тогда продольное перемещение сечения K согласно (1.7) равно

.

По полученным значениям построим эпюру продольных перемещений (рис. 1.6, ж).

Укажем и проверим жёсткость при допускаемом продольном перемещении.

Используем условие жёсткости (1.9), для которого выбираем из полученных значений наибольшее по модулю: . Тогда условие жёсткости принимает вид

.

Как видим, условие жёсткости не выполняется. Необходимо назначить новые площади сечений, чтобы соблюдалось условие жёсткости, которое в нашем примере должно иметь вид

.

Запишем через нагрузку и жёсткость сечения :

.

Тогда условие жёсткости получает выражение

.

Откуда .

Принимаем и окончательно назначаем площади участков бруса:

, , .

5. Касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом к оси бруса.

Напряжения подсчитаем по формулам (1.10), подставляя значения нормальных напряжений в опасном сечении C:

;

.

6. Определение силы

Определим, какую силу нужно приложить к свободному торцу бруса, чтобы вернуть его в первоначальное положение. Сечение Д получило отрицательное перемещение . Чтобы вернуть сечение в первоначальное положение, нужно, очевидно, приложить растягивающую силу Р ₀, которая растянет брус на , т. е. деформация всего бруса от силы Р ₀ составляет . Записывая эту деформацию как сумму деформаций участков, получим уравнение

.

.

Отсюда кН.

Задача 4. Проектный расчёт ступенчатого статически неопределимого бруса

Стальной ступенчатый брус (рис. 1.7, а) жёстко закреплён с торцов. Задана конфигурация бруса и известна внешняя нагрузка: м; ; кН/м.

Требуется:

1. Используя условие равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных сил, возникающих в жёстких заделках.

2. Построить эпюру продольных сил N.

3. Составить выражения для нормальных напряжений s по всем участкам бруса, используя указанные на чертеже бруса значения площадей сечения через неизвестную величину F.

4. Установить s_max., составить условие прочности бруса по допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение F при [s]=200МПа и назначить площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.

5. Построить эпюры нормальных напряжений sи продольных перемещений δ, считая модуль упругости E =2∙10⁵МПа. Указать δ_max и проверить жёсткость при допускаемом продольном перемещении [δ] = 0,5 мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, назначить новые площади сечений.

6. Для опасного сечения бруса вычислить касательныеτ_α и нормальные s_α напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α = 45° к оси бруса.

7. Вычислить температурные напряжения, возникающие при повышении температуры среды на 40°. Принять коэффициент линейного удлиненияa = 1,25∙10^-5 1/град.

8. Как изменятся величины реактивных сил, если между правой заделкой и торцом бруса будет зазор величиной 0,0001∙ L?

Решение:

1. Вычисление реактивных сил

Обозначим реактивные силы, возникающие в жёстких заделках под нагрузкой, как и (рис. 1.7, а). Их величины должны удовлетворять уравнению равновесия всего бруса при растяжении-сжатии (1.1), т. е. , которое принимает вид

. (1.16)

Как видно, это уравнение содержит два неизвестных и , поэтому брус является статически неопределимым. Для нахождения и необходимо составить еще одно уравнение – уравнение перемещений.

При растяжении-сжатии ступенчатого бруса уравнение перемещений записывают через продольные деформации участков . Данный брус состоит из трёх участков, поэтому

, (1.17)

а б в г д е ж

Рис. 1.7

где выражения деформаций участков бруса , и составляем по (1.6) как , где – продольное усилие на рассматриваемом участке; где – модуль упругости первого рода или модуль Юнга; – площадь поперечного сечения; – длина участка бруса. Заметим, что в случае постоянной по участку продольной силы имеем .

Сначала запишем для каждого участка бруса продольные усилия и абсолютные деформации. Продольные силыопределяем методом сечений, рассматривая отсечённые части каждого участка (рис. 1.7, б, в, г), начиная со свободного конца. При этом продольную силу изображаем положительной, т.е. растягивающей рассматриваемый участок.

Используя уравнение равновесия отсечённой части , записываем последовательно продольные силы для каждого участка:

; ; ;

Составим выражения деформаций участков бруса , и , причём площади сечения возьмём по конфигурации бруса через неизвестное значение F:

;

;

.

Подставляя в (1.17) эти величины, получим уравнение перемещений, записанное через :

. (1.18)

Уравнение равновесия (1.16) и уравнение перемещений (1.18) составляют систему 2-х урвнений с двумя неизвестными и , решая эту систему найдём величины этих реактивных сил. Уравнение (1.18) есть уравнение с одним неизвестным . Тогда, умножая его на EF, получаем

,

,

.

Из уравнения (1.16) .

2. Построим эпюру продольных сил N.

Подставив найденную реакцию в выражения продольных усилий по участкам, получим их значения:

Откладывая от базисной линии эти значения, построим эпюру (рис. 1.7, в).

3. Выражения нормальных напряжений

Составим выражения нормальных напряжений для каждого участка вала по формуле (1.3) как :

;

4. Условие прочности бруса

Условие прочности ступенчатого бруса при растяжении-сжатии по допускаемым нормальным напряжениям запишем по (1.5):

.

Выбираем s_max из полученных выше значений нормальных напряжений как наибольшее по модулю,

,

Теперь условие прочности получаем в виде

.

Найдём из этого условия требуемое значение и назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.

.

Принимаем и назначаем площади всех участков бруса:

, .

5. Э пюры нормальных напряжений и продольных перемещений

Вычислим значения нормальных напряжений по участкам бруса, используя полученные выше выражения.

Откладывая полученные значения от базисной линии, построим эпюру распределения нормальных напряжений по длине балки (эпюру ) (рис. 1.7, е).

Построим эпюры продольных перемещений .

Сначала подставляем в полученные ранее выражения деформаций участков бруса найденные величины площадей и получаем значения деформаций.

;

;

.

Определим продольные перемещения характерных сечений, обозначив сечения буквами , , , D.

, т.к. точка находится в заделке; перемещения сечений , , определяем с помощью (1.7):

;

Продольное перемещение в сечении D оказался равным нулю, т.к. это сечение находится в заделке.

По полученным значениям построим эпюры продольных перемещений (рис. 1.7, ж). Уточним линию на первом участке, где имеем линейный характер силы N ₁и пересечение её эпюры с базисной линией в сечении K при :

.

Вычислим координату . Перемещение этого сечения равно деформации участка AK, поэтому

.

Отложив это значение, проводим кривую с перегибом в точке K.

Проверим условие жёсткости, для этого из эпюры перемещений возьмём и запишем , значит условие жёсткости выполняется.

6. Касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательные τ_α и нормальные s_α напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α = 45° к оси бруса. Напряжения на наклонных площадках вычисляют по известным формулам (1.10):

, .

7. Температурные напряжения

Вычислим температурные напряжения, возникающие при повышении температуры среды на 40°. Для этого составим уравнение перемещений (1.17), учитывая удлинение от температуры и сжатие от реакций, возникающих в заделках. При этом удлинение определяем по формуле

.

,

или .

Отсюда

Вычислим наибольшие температурные напряжения , которые будут возникать в более тонком месте − на 1-м участке:

8. Влияние зазора на величину реакций

В случае зазора при действии температуры торец бруса переместиться за счёт деформации на величину зазора. Поэтому величины реактивных сил должны удовлетворять уравнению перемещений, в котором правая часть равна 0,0001∙ L ₁:

.

Как видим, значение температурных реакций при наличии зазора уменьшается.

Задача 5. Проектный расчёт стержневой статически неопределимой системы при растяжении и сжатии

В статически неопределимой стержневой системе абсолютно жёсткий брус AB опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен двумя упругими стержнями к неподвижной опорной поверхности (рис. 1.8, а). Брус несёт нагрузку известной величины, , q = 20 кН/м; .

Требуется:

1. Найти усилия в упругих стержнях, используя уравнения равновесия и уравнение перемещений.

2. Подобрать площади поперечных сечений стержней, используя усло­вия прочности по допускаемым напряжениям и по методу предельного со­стояния, если допускаемое напряжение [s]=200МПа, предел теку­чести s_т = 320Мпа, запас прочности n = 1,6.

3. Вычислить температурные напряжения, возникающие в стержнях при повышении температуры среды на 15˚С. Принять коэффициент линейного удлиненияa = 1,25∙10^-5 1/град.

Решение

1.Нахождение усилий в стержнях.

Статически неопределимые стержневые системы – это системы, в кото­рых количество стержней превышает количество уравнений равновесия.

Брус АВ имеет шарнирно подвижные опоры в точках А и В и шарнирно-неподвижную в точке K. В опорах возникают реакции R_AC, R_BD, R_K и H_K (рис. 1.7, б). Для плоской системы можно составить три уравнения равновесия, а неиз­вестных четыре, значит, заданная система имеет одну «лишнюю» связь, и степень ее статической неопределимости .

При расчётах необходимо знать продольные силы, возникающие во всех стержнях. Для нахождения этих усилий дополнительно к уравнениям равновесия составляют уравнения, учитывающие характер деформации сис­темы. Их называют уравнениями совместности деформаций (или уравне­ниями перемещений). Число их равно количеству «лишних» (с точки зрения статики) связей системы и характеризует степень её статической неопредели­мости. Использование уравнений перемещений основано на том, что дефор­мации стержней можно выразить через неизвестные продольные силы по формуле и сравнить между собой.

Под действием внешней нагрузки брус АВ займет положение (рис. 1.7, г). Горизонтальными перемещения концов А и В пренебре­гаем в силу малости деформаций в таких несущих конструкциях. Отрезок АА ₁ есть деформация стержня АС, назовем её . На первоначальной длине стержня DВ отложим его новую длину (считаем, что DВ). Отрезок – укорочение стержня DВ, обозначим его . Из .

Запишем связь между деформациями и из подобия треугольников ~ :

или

(1.19)

Выразим деформации и через продольные усилия, возникающие в стержнях АС и DВ. Чтобы «увидеть» эти усилия, отсечём систему по шар­нирам С и D, а для сохранения равновесия приложим в этих шарнирах реак­ции и (рис. 1.8, б), взяв направление в соответствии с деформа­цией удлинения и укорочения : усилие покажем растягивающим, а уси­лие − сжимающим. Или выполнив разрез системы по шарнирам А и В (рис. 1.8, в), покажем усилиями и воздействие разрезанных частей сис­темы друг на друга. Здесь хорошо видно, что и вызывают соответст­венно растяжение и сжатие стержней. Как известно, деформации свя­заны с продольными усилиями:

и .

Подставив эти выражения в (1.19), получим уравнение сов-местности деформаций в виде:

,

где , , , . Тогда ,