Задание. На основании решения плоской контактной задачи, т.е

Введение

На основании решения плоской контактной задачи, т.е. задачи о сжатии упругих цилиндров, проверяется контактная прочность различных деталей машин: цилиндрических зубчатых колёс, элементов цепных передач, подшипников качения с цилиндрическими роликами, ходовых колёс кранов, копиров, кулачков, некоторых деталей обгонных муфт и др. Во всех перечисленных случаях местом начального контакта являются образующие рассчитываемых цилиндров, т.е. прямые линии.

В данном этапе расчётно-графической работы будут решены некоторые задачи с такого рода контактом с симметричным и несимметричным распределением давлений.

Во многих случаях местом начального контакта может быть не прямая линия, а некоторая полоса, как, например, у направляющих различного рода машин, в шлицевых соединениях, в кулачковых муфтах, в конструкциях с упорами и др.

Задание

Несимметричная контактная задача в случае начального контакта по линии показано на рисунке 1^а.

Заданные величины:

· Сжимающая сила P₀

· Радиусы кривизны в окрестностях точки О: R₁., R₂, R₃., R₄.

· Материалы контактирующих поверхностей: сталь-сталь.

· Свойства материалов поверхностей: E =2,1*10⁵ МПа; m=0,3.

3. Теоретическое обоснование и расчётные зависимости.

Несимметричная контактная задача при начальном контакте по линии является частным случаем плоской задачи при начальном контакте по полоске. Для этого частного случая и геометрические параметры справа и слева от точки касания разные, т.е. ; На схеме (рис. 1) показаны случаи такой задачи.

Рис. 1 Рис.1а

Сжимающая сила направлена по линии центров дуг. Контур первого тела описывается функцией , а второго тела - ; Зазор при (справа и слева от точки - точки касания различны) .

Дано:

Сжимающая сила - ;

Радиусы кривизны в окрестности точки - , , , ;

Упругие постоянные первого и второго тела - , , , ;

Коэффициент трения скольжения - ;

Порядок выполнения:

При сжатии контактирующих тел образуется полоска размером . Ширина этой полоски несимметрична относительно начального касания точки . Середина полоски контакта точка при сжатии смещена от точки начального касания точки на величину (см. рис. 2).

Рис. 2

На рис. 2 следующие обозначения:

Точка - точка начального касания;

Точка - середина полоски контакта при сжатии шириной ;

В системе координат координата некоторой произвольной точки - , а координата элементарной силы равна .

В этой системе координат интегральное уравнение Штаермана:

(1); В выражении (1):

при - справа от точки ;

при - слева от точки ;

- геометрические параметры справа от точки касания. В соответствии с рис. 1.,

; (2)

- геометрические параметры справа от точки касания. В соответствии с рис. 1.,

; (2)

Знак в кривизне имеет место, если центр кривизны расположен внутри контактирующих тел, и определяется упругими постоянными материалами контактирующих тел.

; (2а)

;

Для того, что бы использовать решение Штаермана для симметричной задачи перейдем к системе координат , с началом координат на середине полоски контакта в точке ; Формулы перехода:

;

;

В новой системе координат интегральное уравнение будет иметь симметричные пределы интегрирования.

; (3)

Решение симметричной задачи получено Штаерманом в полярной системе координат с заменой на угол , координаты на угол , а координат на угол по выражениям ; ; ; (4).

После подстановки (4) в (3) и интегрированием получим (Алекс. стр. 27, Ромалис. стр. 294, Штаерман):

; (5)

где ; (6)

Угол выражается через ( отсчитывается от точки ):

или

или

; (7)

В выражение (5-7) неизвестна половина ширины контакта а и угол , определяемой смещением ; Эти величины определяются из условия ограничения контактного давления в точках и конца зоны контакта. Из этих граничных условий:

При

получено два уравнения с неизвестными и :

; (8)

; (9)

Из формулы (8) получено:

; (10)

В этом уравнении известны и (формулы 2) и можно определить ; Совместное решение уравнений (8) и (9) даёт значение координаты полоски контакта:

; (11)

смещение ; (12)

Если , то смещение откладывается влево от точки начального касания точки ;

Если , то меняется в пределах ;

Рис. 3

Если , то откладывается вправо от точки ;

При максимальное контактное давление будет расположено в зоне (см. рис.3);

При максимальное контактное давление будет расположено в зоне (см. рис.2);

Случай показан на рис. 3.

4. Порядок построения эпюры :

1) По формуле (2) определяем геометрические параметры и , по формуле (2а) определяем ( и ).

2) По формуле (10), решая геометрическое уравнение, находим угол (в формуле (10) определяется в радианах).

3) По формуле (11) определяется полуширина плоскости контакта , по формуле (12) определяется смещение .

4) Определяется сомножитель в формуле (5), независящий от .

5) Изменяя значение по формуле (7) определить .

6) По формуле (5) определить .

7) Для построения эпюры в зоне расположения надо уменьшить шаг аргумента .