Кривые линии

Кривые линии широко применяются в машиностроении, архитектуре, в строительстве и других областях науки и техники.

Кривую линию можно рассматривать как непрерывную совокупность последовательных положений движущейся точки, а также как линию пересечения поверхностей или поверхности с плоскостью.

Кривые линии могут быть плоскими, если все точки их лежат в одной плоскости.

Например: окружность, эллипс, парабола, гипербола.

Кривые линии называются пространственными, если они не лежат всеми своими точками в плоскости.

Например: винтовые линии.

Кривые линии - плоские и пространственные (двойной кривизны) – делятся на математические (аналитические или трансцендентные) и графические (определяемые только их изображениями).

Степень уравнения, которое описывает алгебраическую кривую (окружность, эллипс и т.д.) определяет порядок кривой. Геометрический порядок плоской кривой определяется числом точек пересечения с прямой линией. Порядок пространственной кривой определяется числом точек пересечения кривой с плоскостью.

Свойства проекций кривой: 1) в общем случае проекции кривой линии являются так же кривыми линиями; 2) если точка принадлежит кривой линии, то её проекция принадлежит одноимённым проекции этой кривой; 3) касательная к кривой линии проецируется в касательную к проекции этой линии.

Плоские кривые получили широкое распространение. Для исследования локальных

свойств плоской кривой строят в некоторой точке касательную и нормаль.

Касательной к плоской кривой (t) в некоторой точке(А) называется предельное положение секущей, когда две общие точки сечения, стремясь друг к другу совпадают.(рис. 62 а.).

Нормалью называется прямая лежащая в плоскости кривой и перпендикулярная касательной в точке (А) её касания (рис. 62 а.)

При решении некоторых задач приходится проводить касательную (t) к кривой из некоторой точки (А) с помощью “кривой ошибок” (рис. 62 б.). Применение этого метода основано на том, что в точке касания (М) кривизна равна нулю. Через точку (А) проводят пучок прямых пересекающих кривую. Полученные хорды делят пополам. Плавная кривая, проведённая через средние точки (“кривая ошибок”),пересекает заданную кривую в точке касания (М).

Рис. 62

Свойства точек кривой:

Рис. 63

Точка кривой, в которой можно провести единственную касательную, называется гладкой. Кривая состоящая только из таких точек называется гладкой. Точка кривой называется обыкновенной, если при ее движении по кривой направление её движения и направление поворота касательной не изменяется. Точки не удовлетворяющие этим условиям называются особыми.

На рис. 63 изображены особые точки кривой: точка перегиба А – касательная пересекает кривую; точка возврата В; точка возврата второго рода С; точка излома Д- кривая в этой точке имеет две касательные.

Рис. 64

Понятие о кривизне.

Кривизной (К) плоской кривой в данной точке называется величина, обратная радиусу соприкасающейся окружности (К=1/r).

Например, кривизна прямой линии равна нулю, а кривизна окружности во всех ее точках величина постоянная. Кривизна других кривых в каждой точке различна. Она определяется с помощью окружности соприкасающейся в этой точке.

Соприкасающейся окружностью называется предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две другие бесконечно близкие к ней точки. На риc. 64 показано построение центра и радиуса кривизны кривой линии ВС в заданной точке. На кривой по обе стороны от данной точки помечают несколько точек и проводят из них и из точки А полукасательные. На полукасательных откладывают произвольные, но равные отрезки и через полученные точки проводят кривую линию. Точке А заданной кривой соответствует точка A₁ построенной кривой. В пересечении нормалей, проведённых в точках А и A_1, получим О – центр кривизны и величину радиуса кривизны (r_a) в точке А(центр и радиус соприкасающейся окружности).

Проекции плоских кривых.

Важное прикладное значение имеют некоторые кривые второго порядка – эллипс, парабола, гипербола.

а) б) в)

Рис. 65

Эллипс (замкнутая кривая с двумя осями симметрии и центром) представляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная большой оси(рис. 65 а.). Эллипс можно построить по точкам исходя из этого описания. Из точки С радиусом а проводят дугу, которая пересекает большую ось эллипса в точках F₁ и F₂ . Затемиз этих точек проводят дуги окружностей r и 2a-r. Точки пересечения дуг принадлежат кривой эллипса (например точка М). Уравнение эллипса

Парабола (незамкнутая кривая с одной осью симметрии) представляет собой геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки (фокуса) и прямой (рис. 65 б.). параболу можно построить по точкам исходя из её определения, если задан фокус F и прямая ON- директриса. Вершина А делит пополам расстояние между фокусом и директрисой. Уравнение параболы Y²=2*p*x.

Гипербола (кривая, состоящая из двух ветвей, с двумя осями симметрии и центром) представляет собой геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная(рис. 65 в.). Две прямые линии, проходящие через центр О и касающиеся гиперболы в бесконечно удалённых точках, называются асимптотами гиперболы. Асимптоты проведены по диагоналям прямоугольника со сторонами 2а и 2в. Гиперболу, как и параболу, можно построить по точкам.

Уравнение гиперболы

Пространственные кривые линии

Для пространственной кривой судить о характере её точек можно только при наличии двух проекций. Широкое применение в практике получили цилиндрические и конические винтовые линии. Рассмотрим одну из них.

Цилиндрическая винтовая линия представляет собой кривую линию одинакового уклона. Эта траектория описывается в пространстве точкой, равномерно перемещающейся вдоль образующей цилиндра, которая одновременно равномерно вращается вокруг оси цилиндра. (рис. 66).

На рисунке 66 представлена проекция цилиндрической винтовой линии. Окружность основания цилиндра (диаметром d) и шаг n разделены на одинаковое число частей (n=8). Так как ось цилиндра перпендикулярна к плоскости П₁, то горизонтальная проекция винтовой линии сливается с окружностью представляющую горизонтальную проекцию поверхности цилиндра. Фронтальная проекция винтовой линии ясна из построения, она подобна синусоиде.

Развёртка витка цилиндрической винтовой линии показана на рис. 66. В развёрнутом виде каждый виток представляет собой отрезок прямой с углом падения φ, который можно определить по формуле tg φ = h/πd, где h –шаг винтовой линии, а d– диаметр цилиндра.

Винтовая линия может быть левой или правой. Если на видимой(передней) стороне цилиндра подъём проекции винтовой линии слева направо – это правая винтовая линия; если справа на лево - то левая винтовая линия.

Если винтовая линия изображена без цилиндра и без проекции точек, то указание о том, является ли она правой или левой, надо делать или надписью или стрелками, как показано на рис.67а.- для правой и рис. 67б. – для левой.

а) б)

Рис. 66 Рис. 67

10 ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ.

На кривой поверхности ω через точку А (рис. 68) проведем несколько кривых линий m,l… и к этим кривым проведем касательные прямые b,c… Совокупность этих касательных прямых в зависимости от расположения точки А на кривой поверхности образуют или касательную плоскость α или коническую поверхность.

Если через точку А можно провести плоскость, то эту точку называют обыкновенной. Если же касательные прямые b,с…образуют коническую поверхность, то точку А называют конической. Таким образом, плоскость, касательная к поверхности в данной на ней обыкновенной точке, является геометрическим местом прямых, проведенных через данную точку, и касательных к кривым линиям, проходящим на поверхности через эту же точку.

Рис. 68

Если же поверхность линейчатая, то через данную точку(К) можно провести прямолинейную образующую. Следовательно, плоскость касается линейчатой поверхности по прямой линии (рис. 69). Некоторых поверхностей плоскость может касаться по кривой линии. Так, например, если провести касательную плоскость к наружной части кольца, образованного движением замкнутой кривой (окружности) по некоторой плоскости кривой, то плоскость будет касаться этого кольца по кривой линии.

Рис. 69

Для построения касательной плоскости в обыкновенной точке поверхности достаточно через эту точку провести две касательные прямые к двум кривым на этой поверхности, проходящим через данную точку.

Пример 1. Через точку А поверхности вращения проведем касательную плоскость (рис. 70).

Для этого через точку А на поверхности проводим окружность с центром О, плоскость которой(β) перпендикулярна к оси вращения, и меридиана l. Горизонтальная проекция l₁ меридиана совпадает с горизонтальной проекцией плоскости α₁ меридиана. Если в точке А к указанным окружности и меридиану провести касательные прямые, то они определяют плоскость, касательную к данной поверхности вращения.

Горизонтальная проекция прямой а,касательной к окружности в точке А, изображается прямой а₁, касательной к горизонтальной проекции этой окружности в точке А₁, а фронтальная проекция прямой а₂ совпадает с фронтальной проекцией окружности, представляющей горизонтальную прямую.

Для построения прямой АС, касательной к меридиану в точке А, повернем плоскость α меридиана в положение, параллельное плоскости П₂, т.е. данный меридиан совместим с главным. Рис. 70

Тогда точка А₂ займет положение точки А’₂. В новом положении меридиана проведем фронтальную проекцию А’₂С₂, касательную к меридиану. Обратным вращением меридиан вместе с касательной АС возвращаем в первоначальное положение. Так как точка С, лежащая на оси вращения не перемещается, то легко построить проекцииА₂С₂ и А₁С₁ прямой, касательной к меридиану. Прямые АС и а определяют плоскость, касающуюся данной поверхности в точке А.

Пример 2. Построить плоскость, касательную к конусу вращения и проходящую через точку N, заданную вне его поверхности (рис. 71).

Через точку N проведем плоскость δ₂, перпендикулярную к оси вращения. Окружность, полученную при пересечении конуса плоскостью δ, принимаем за одну из кривых поверхности конуса. К ней проведем касательную NK.

Образующая SK конуса, проходящая через точку К, совместно с прямой NK определяет касательную плоскость к поверхности конуса.

Пример 3. Построить плоскость,

касательную к цилиндру и параллельную

данной прямой l (рис. 72).

На прямой l возьмем произвольную точку

А и проведем прямую АМ, параллельную образующим

цилиндра. Пересекающиеся прямые l и АМ определяют плоскость δ, параллельную образующим цилиндра.

Построим линию МN пересечения плоскости δ с плоскостью ω нижнего основания цилиндра. Для этого определим точки встречи M и N прямых АМ и l с плоскостью ω. Фронтальная проекция M₂N₂ прямой MN совпадает с плоскостью ω₂, а горизонтальная Рис. 71

M₁N₁ является горизонтальным следом плоскости δ.

В плоскости ω проводим прямую к, касательную к нижнему основанию цилиндра в точке В и параллельную прямой MN. Прямая к и образующая а, проходящая через точку В касания, определяет искомую плоскость.

Рис. 72