Лабораторная работа № 4. Решение оптимизационных задач управления

Решение оптимизационных задач управления

Ресурсное планирование объема выпускаемой продукции. Цех предприятия производит два вида продукции (Продукт_1 и Продукт_2). Следует рассчитать оптимальные недельные объемы Q₁ и Q₂ производства этих продуктов с точки зрения максимизации прибыли. Прибыль (целевая функция PROF) от каждого продукта составляет: PROF₁ = 5 ден. единиц, PROF₂ = 5, 5 ден. единиц.

На производстве действуют ограничения b₁ – по сырью, b₂ – трудовым ресурсам и b₃ – транспортным расходам:

– для Продукта_1 требуется a₁₁ = 3 единицы сырья, для Продукта_2 требуется a₁₂ = 6 единицы сырья. Всего цех располагает b₁ = 18 единицами сырья;

– для изготовления Продукта_1 требуется a₂₁ = 6 рабочих, для Продукта_2 требуется a₂₂ = 4 рабочих. В цехе всего b₂ = 24 рабочих;

– транспортные расходы на перевозку Продукта_1 составляют a₃₁ = 2 единицы, а Продукта_2 – a₃₂ = 1 единицу. Эти затраты не могут быть менее b₃ = 2 единиц (цена аренды одного автомобиля минимальной грузоподъемности в течение дня). Считается, что вся дневная продукция цеха может быть вывезена на одном грузовике.

Кроме того, очевидно, что ни одна из переменных (число единиц продукции) не может быть менее нуля. Q₁, Q₂ ³ 0.

Отсюда запишем соотношения, из которых можно вычислить оптимальные объемы производства Продукта_1 и Продукта_2:

3 * Q₁ + 6 * Q₂ £ 18 – потребность в сырье,

6 * Q₁ + 4 * Q₂ £ 24 – трудовые ресурсы,

2 * Q₁ + 1 * Q₂ ³ 2 – транспортные расходы,

Q₁ ³ 0, Q₂ ³ 0 – условие неотрицательности,

PROF_å = 5 * Q₁ + 5, 5 * Q₂ Þ max – целевая функция.

Создайте шаблон для решения поставленной задачи:

Ограничения вносятся в верхнюю часть таблицы 4.1. Коэффициенты отношений – в область C2:D4, правая часть уравнений – в F2:F4. Коэффициенты целевой функции – в C6:D6. В процессе расчетов в области Е2:Е4 отображаются вычисляемые (фактические) значения правой части неравенств. Сюда вводятся формулы:

E2=СУММПРОИЗВ(C$7:D$7;C2:D2),

E3=СУММПРОИЗВ(C$7:D$7;C3:D3),

E4=СУММПРОИЗВ(C$7:D$7;C4:D4).

Таблица 4.1
	A	B	C	D	E	F
	№	Вид ресурса	Продукт 1	Продукт 2	Вычисленные значения	Заданные ограничения
		Сырье	3	6	18,0	18
		Труд	6	4	24,0	24
		Транспорт	2	1	7,5	2
					Прибыль:
		Целевая функция	5,00	5,50	23,25
		Результаты	3,00	1,50

Аналогично значение целевой функции (прибыль) равно

E6=СУММПРОИЗВ(C$7:D$7;C6:D6).

Если размерность системы уравнений (как в нашем случае) невелика, можно воспользоваться более простыми функциями (таблица 4.2):

Таблица 4.2

E2=C2*С$7+D2*D$7, E4=C4*С$7+D4*D$7,

E3=C3*С$7+D3*D$7, E6=C6*С$7+D2*D$7.

Результат (оптимальное количество Продукта 1 и Продукта 2) формируется в области С7:D7. Клетки, в которых вычисляются какие-то значения, выделены жирным шрифтом. Остальное – исходные данные.

Для оптимизации в Excel используется инструмент Поиск решения, вызываемый через меню Сервис, который предъявляет окно (рис. 4.1). Сначала задается ячейка, содержащая оптимизируемое значение (здесь Е2), затем указывается его желаемое значение (у нас максимальное). Можно задать не только максимальное/минимальное значения, но и любую произвольную величину, введя ее в специальное поле (Равной значению:).

Ограничения устанавливаются с помощью кнопки Добавить, которая вызывает окно их ввода (рис. 4.2).

После ввода всех ограничений и других условий, следует нажать кнопку Выполнить для решения поставленной задачи.

Если вычисления оказались успешными, Excel предъявит окно итогов, аналогичное окну рис. 4.1. Их можно сохранить или отказаться (Восстановить исходные значения). Сохраним их. Кроме того, можно получить один из трех видов отчетов (Результаты, Устойчивость, Пределы), позволяющие лучше осознать полученные результаты, в том числе, оценить их достоверность.

Рис.4.1.

Рис. 4.2.

Планирование транспортных перевозок.

Пусть с трех складов требуется развести грузы в объемах 50, 30 и 40 тонн потребителям в 2 пункта доставки в объеме 40 и 80 тонн (таблица 4.3). Известна цена перевозки единицы груза с каждого склада в каждый пункт доставки (столбцы С и Е). Наша задача заключается в следующем: определить такие объемы перевозок со складов в пункты доставки, чтобы стоимость транспортировки была минимальной. В таблице 4.3 искомые значения уже вычислены и обведены жирной рамкой. Видим, что стоимость всего «мероприятия» составляет 1300 руб.

Таблица 4.3
	A	B	C	D	E	F
			Пункт доставки 1	Пункт доставки 2
	Наличие груза на складах	Цена перевозки	Объем груза	Цена перевозки	Объем груза
	Склад 1	50	10	6,40	5	43,60
	Склад 2	30	20	30,00	25	0,00
	Склад 3	40	15	3,60	10	36,40
	ВСЕГО	120		40,00		80,00
	Целевая функция:	1300,00 р

Рассмотрим, как были получены эти значения. Прежде всего, в ячейку С8 заносим целевую функцию. Здесь это стоимость всех «элементарных» перевозок, вычисляемая как сумма произведений цены на объем груза

С8=C3*D3+E3*F3+C4*D4+E4*F4+C5*D5+E5*F5.

Для решения снова используем инструмент Поиск решения, где введем следующие параметры