Критерий Вилкоксона-Манна-Уитни

Этот критерий предназначен для проверки однородности двух генеральных совокупностей, понимаемой в смысле отсутствия различий в значениях параметров местоположений (медиан, средних значений) соответствующих распределений.

Мы располагаем выборками, извлеченными из двух генеральных совокупностей (l=2). Пронумеруем эти выборки, так чтобы обеспечить выполнение неравенства n₁ n₂. Объединим выборки и по объединненой выборке объема n₁+n₂ построим общий вариационный ряд.

Критическая статистика описываемого критерия имеет вид:

(2) и носит название суммы рангов.

Следующее правило проверки гипотезы:

1) По заданному уровню значимости критерия a с помощью таблиц квантилей (процентных точек) стандартного нормального распределения определяем квантиль уровня 1-a/2 (или 100a/2% точку стандартного нормального распределения.

2) Вычисляем стандартизированное значение критической статистики g

,

где значение g вычислено по формуле.

3) Если окажется, что

|g_ст|>U_1-a/2 или |g_a/2|>U_1-a/2 , то проверяемую гипотезу следует отвергнуть (и соответственно принять при всех других значения стандартизированной критической статистики .

В условиях справедливости проверяемой гипотезы статистика ведет себя как нормально распределенная случайная величина с параметрами:

a=1/2n₁(n₁+n₂+1)

s²=1/12n₁n₂(n₁+n₂)

При этом сходимость к нормальному распределению очень быстрая: оно уже эффективно работает при n₁>8.

Взвешивание выборочных данных х₁,…,х_n.

В общем случае наблюдению х_i приписывается вес w_i ³ 0, который определяется как некоторая функция от его текущего значения. Обычно w_i подчиняют условию нормировки 1

Под w понимается вектор весов (w(x₁)…w(x_n)) в выражении для выборочных моментов и функция со значениями w(x) в выражении для теоретических моментов.

Если имеют дело с результатами наблюдения одномерной случайной величины х₁…х_n, то часто вес наблюдения х_i определяют в зависимости от его порядкового номера в упорядоченном (по возрастанию) ряду наблюдений, то есть располагают наблюдения в вариационный ряд х₁,х₂,…,х_n и каждому члену вариационного ряда х_i ставят в соответствие некоторый вес w_i.