Решение задачи ЛП двухфазным симплекс-методом

Двухфазный симплекс-метод (или. метод искусственного базиса) применяется в тех случаях, когда и задаче ЛП в канонической форме затруднительно определить н.д.б.р. с помощью эквивалентных преобразований (привести систему ограничений к диагональному виду).

Пример 2.4. Следующую задачу ЛП решить двухфазным симплекс-методом:

min f(x)=x1-x2+1 (11)

при ограничениях

(12)

x₁, x₂, x₃≥0 (13)

Первая фаза (цель: при- помощи искусственного базиса и симплекс-метода определить базисные переменные из числа исходных переменных).

В систему (12) вводим искусственные переменные x₃≥0, x₅≥0, x₆≥0 (предварительно умножив обе части второго неравенства на -1), новую целевую функцию как сумму всех искусственных переменных, а старую присоединяем к ограничениям:

min z(x) = x₄ + x₅ + x₆ (14)

при ограничениях

(15)

Искусственные переменные x₄, x₅, x₆ выбираем в качестве базисных, а все остальные x₁, x₂, x₃ - небазисных. По правилу симплекс-метода исключаем базисные переменные из целевой функции (14) (при помощи уравнений системы (17), содержащих эти переменные):

z(x)= -2 x₁ - 15 x₂ - 5 x₃ + 15

или, что все равно

z(x)+2x₁+15 x₂+5 x₃=15 (16)

Начальное д.б.р.

x⁰=(x₁⁰, x₂⁰, x₃⁰, x₄⁰, x₅⁰, x₆⁰)=(0, 0, 0, 1, 3,11)

называется искусственным базисом. При помощи этого базиса, и выражений (15), (16) строим начальную симплекс-таблицу I-ой фазы.

	x1	x2	x3	x4	x5	x6
z
f		-1
x4			(1)
x5		-1		-1
x3

До конца I фазы роль нулевой строки играет строка для z, все остальное как в симплекс-методе (см. примеры 5,6). Следует только заметить, что строка для f не участвует в выборе ведущей строки.

Из (16) видно, что min z(x) = 0 и достигается при x₄= x₅ = x₆=0, те, задача (16)-(18) будет решена, если все искусственные переменные будут вытеснены из базиса, а z=0. Это и будет означать конец первой фазы и переход ко второй фазе.

Обратите внимание, что в первой таблице ведущей может быть любая из последних трех строк (предвестник зацикливания). В таких случаях можно выбрать любой из них - выберем первую строку.

Так как искусственная переменная x₄ выходит из базиса, то соответствующий столбик в дальнейшем можно исключить.

В результате соответствующих преобразований получим вторую симплекс-таблицу.

	x1	x2	x3	x4	x5
z		-28		-40
f		-3		-3
x2
x5		-7		-10
x6		-21		-30

Из таблицы следует, что min z достигнут, однако искусственные переменные x₅ и x₆ еще не выведены из базиса. В такой ситуации правила симплекс-метода "не работают" (т.к. ввиду отсутствия в нулевой строке положительных оценок нельзя выбрать ведущий столбик). Задача здесь одна - вывести оставшиеся искусственные переменные из базиса. Выведем сначала x₅. Умножим все элементы этой строки на -1 (что допустимо, т.к. в нулевом столбике стоит 0). Введем в базис вместо x₅ переменную x₁. С этой целью строку для x₅ поделим на 7 и с "ведущим элементом" 1 выполним элементарные преобразования (как в симплекс-методе). В результате получим таблицу:

	x1	x2	x3	x6
z
f				9/7
x2				1/7
x1				10/7
x6

Остается в базисе еще x₆. Ее из числа базисных вывести нельзя, так как все элементы таблицы равны нулю, кроме 1 в столбике для x₆. Это говорит о том, что в системе (14) третье уравнение было "лишним" и потому последнюю строку таблицы можно вычеркнуть. Действительно, третье уравнение в (14) является линейной комбинацией первых двух (оно получается вычитанием второго уравнения, умноженного на 3, из первого уравнения, умноженного на 2),

Вычеркивая столбик для x₆ и строку для z приходим к таблице,

	x1	x2	x3
f				9/7
x2				1/7
x1				10/7

содержащей только элементы исходной задачи (13)-(15) и с базисными переменными изчисла исходных переменных.

Таким образом, задача I фазы выполнена.

Вторая фаза (цель: применяя обычный симплекс-метод к полученной в результате I фазы таблице, получить оптимальное решение исходной задачи).

Д.б.р. для последней таблицы есть

x⁰=(0, 1, 0)

Заметим, что это вырожденное д.б.р., так как в нем базисная переменная x₁ - 0. То есть здесь мы можем получить зацикливание.

В качестве упражнения II фазу предлагается сделать самостоятельно.

Теперь можно привести алгоритм двухфазного симплекс-метода:

1) привести задачу ЛП к канонической форме;

2) ввести в ограничения искусственные переменные и составить новую целевую функцию z;

3) исключить из новой целевой функции все искусственные переменные;

4) используя искусственные переменные в качестве базисных, построить начальную симплекс-таблицу;

5) использовать симплекс-метод, исключая из таблиц столбики для искусственных переменных по мере их выхода из базиса до тех пор, пока min z=0 и все искусственные переменные не будут выведены из базиса;

6) вычеркнуть строчку для z и перейти ко второй фазе;

7) во второй фазе, к таблице, полученной в результате первой фазы, применить симплекс-метод до тех пор, пока не найдется оптимальное решение исходной задачи или не выявится его отсутствие.

П р и м е ч а н и я к двухфазному симплекс-методу

1. Если в результате первой фазы окажется, что min z > 0, то система ограничений исходной задачи (в канонической форме) несовместна. Во всех остальных случаях первая фаза разрешима.

2. Если min z= 0 и в таблице остались искусственные переменные, то, используя элементарные преобразования, эти переменные следует вывести из числа базисных, а вместо них ввести исходные переменные (см. пример 7).

3. Пусть каноническая форма задачи ЛП получена с помощью слабых переменных. Применение двухфазного симплекс-метода упростится, если искусственные переменные ввести только в те ограничения, ж которых слабая переменная либо отсутствует (исходное ограничение-равенство), либо не может войти в базис (введена в ограничение со знаком минус).