Математико-статистический анализ данных

о деятельности производственного экономического объекта

Цель математико-статистического анализа данных, характеризующих поведение исследуемого экономического объекта, состоит в том, чтобы выявить тенденции изменения выпуска продукции и используемых ресурсов, установить зависимость между выпуском и затратами ресурсов и по этим тенденциям и зависимостям найти прогнозы выпуска на ближайшую перспективу.

Выявление тенденций и установление зависимостей между выпуском и ресурсами осуществляется с помощью методов экстраполяции временных рядов и регрессионного анализа, изучаемых в курсе "Теория вероятностей и математическая статистика" [ ].

Расчеты по регрессионным моделям целесообразно выполнять на персональных ЭВМ с помощью пакетов прикладных программ, имеющих в своем составе программы множественной линейной регрессии (например, Statistica for Windows, Statgraf, SAS), однако возможно их выполнение на научном калькуляторе по формулам регрессионного анализа, приведенным в [ ].

Технику проведения расчетов и получения прогнозов покажем на примере исследования экономики США. Исходные данные для расчетов, взятые из следующих источников: Economic Report of the President, 1995,Wash,1995; Statistical Abstract of the USA, 1995, Wash, 1995, приведены в следующей таблице.

Валовой внутренний продукт, (в ценах 1987 г.), основные производственные фонды (в ценах 1987 г.) и число занятых в США в 1960-1995 г.г.

№ п.п.	Год	ВВП (млрд. долл.) Xt	ОПФ (млрд. долл.) Kt	Число занятых (млрд. чел.) Lt
		1986,9	5596,9	65,8
		2035,7	5685,6	65,7
		2140,5	5849,8	66,7
		2234,2	6098,9	67,8
		2357,4	6336,1	69,3
		2493,3	6621,5	71,1
		2635,7	6921,8	72,9
		2705,6	7237,0	74,4
		2816,0	7434,0	75,9
		2891,0	8062,0	77,9
		2889,5	8416,8	78,7
		2978,2	8596,7	79,4
		3133,2	9533,6	82,2
		3298,5	9718,1	85,1
		3283,5	9455,7	86,8
		3250,2	9493,2	85,8
		3414,0	9620,9	88,8
		3568,2	9755,9	92,0
		3738,8	11217,1	96,0
		3848,6	12117,0	98,8
		3824,4	11691,4	99,3
		3883,1	11987,8	100,4
		3794,5	10717,1	99,5
		3938,5	10849,2	100,8
		4177,5	11989,2	105,0
		4544,5	13063,7	112,4
		4724,0	13382,5	115,0
		4854,2	13838,9	117,3
		5002,5	15411,8	117,9
		4881,6	14295,5	116,9
		4984,1	14252,1	117,6
		5139,9	14412,5	119,3
		5372,0	15319,8	123,1
		5604,1	15939,2	126,7

а) Анализ тенденций изменения и прогнозирование ВВП, ОПФ и числа занятых.

Анализ тенденции изменения и прогнозирование покажем на примере ВВП. Если имеет место линейный тренд, то модель изменения ВВП принимает вид

,

где

- линейный (относительно времени) тренд,

- среднее значение ВВП (значение тренда) при t=0 (» x ₁ - ),

- среднегодовой прирост ВВП,

e_t – отклонение фактического значения ВВП от тренда.

Оценки коэффициентов тренда приведены в [ ] и имеют вид

Выполнив расчеты на ЭВМ с помощью указанных ППП, либо непосредственно подставив значения временного ряда ВВП (взятые из таблицы) в последние две формулы, получаем оценки коэффициентов тренда

= 1854,1 – оценка среднего значения ВВП в 1959 г. (млрд. долл.)

= 96,66 – оценка среднегодового прироста ВВП (млрд. долл.), тем самым и оценки тренда

Х _t = 1854,1 + 96,66× t.

Прогноз осуществляем по следующей формуле (подставляем будущие значения времени в уравнение тренда)

в частности,

(1996) = 1854,1 + 96,66×37 = 5430,6;

(1997) = 5527,3;

(1998) = 5623,9.

Точно так же находим оценки трендов и прогнозируемые значения ОПФ и числа занятых

= 5071,7 + 290,05 t;

(1996) = 5071,7 + 290,05×37 = 15803,6;

(1997) = 16093,6;

(1998) = 16383,7;

= 60,36 + 1,796 t;

(1996) = 60,36 + 1,796×37 = 126,8;

(1997) = 128,6;

(1998) = 130,4.

Замечание. Полученные прогнозы основаны на данных 1960 – 1995 г.г. К настоящему времени уже известны фактические данные за 1996 – 1998 г.г., поэтому есть возможность сравнить прогнозируемые значения с фактическими.

На приводимых ниже рисунках показаны фактические, расчетные (по линейному тренду) и прогнозируемые значения.

Прогноз ОПФ на 1996 – 1998 г.г.

(млрд. долл.)

Прогноз числа занятых на 1996-1998 г.г.

(млн. чел.)

б) Установление зависимости ВВП от ресурсов (ОПФ и числа занятых) и прогнозирование ВВП с помощью найденной зависимости.

Зависимость ВВП от ОПФ и числа занятых постулируем в форме мультипликативной функции

,

где

А – коэффициент нейтрального технического прогресса,

a _K, a _L – коэффициенты эластичности по фондам и по труду.

При наложении этой гипотетической зависимости на реальные данные приходим к следующей модели

- корректировочный коэффициент, который приводит расчетные (по модели) данные к фактическим.

В логарифмах эта модель приобретает вид уравнения регрессии с двумя независимыми переменными

.

Вводя в программу линейной множественной регрессии в качестве значений зависимой переменной логарифмы ВВП (ln X _t, t = 1,…, T), а в качестве значений двух переменных логарифмы ОПФ (ln K _t, t = 1,…, T) и числа занятых (ln L _t, t = 1,…, T), получаем в результате работы программы оценки параметров регрессии

.

Так расчеты на ЭВМ с помощью ППП " Statistica for Windows" по логарифмам походных данных дали следующие результаты

,

поэтому ( = 2,248)

.

Используя прогнозируемые значения ресурсов, получаем прогноз ВВП с помощью найденной зависимости от ресурсов

(1996)

(1997) = 5576,7;

(1998) = 5680,1.

На приводимом ниже рисунке показаны фактические, расчетные (по линейному тренду и по мультипликативной функции) значения ВВП.

Прогноз ВВП на 1996-1998 г.г.

(млрд. долл.)

в) Выводы из результатов расчетов.

Как видно из таблицы исходных данных экономика США в 1960-1995 г.г. находилась в состоянии экономического роста, прерываемого в 1960-1961 г.г., 1969-1970 г.г., 1974-1975 г.г., 1980-1982 г.г., 1990-1992 г.г. кризисами и спадами производства.

Этот экономический рост характеризуется среднегодовыми приростами: ВВП – на 96,7 млрд. долл., ОПФ – на 290,1 млрд. долл., числа занятых – на 1,8 млн. чел. Увеличение ОПФ на 1% приводит к увеличению ВВП на 0,404%, а увеличение числа занятых на 1% - на 0,803%, т.е. экономический рост являлся фондосберегающим.

Если бы тенденции сохранились, то к концу 1998 г. ОПФ составили бы 16383,7 млрд. долл. (рост по сравнению с 1995 г. на 2,8%), ВВП достиг бы в 1998 г. значений: при прогнозе по линейному тренду – 5623,9 млрд. долл. (рост на 0,35%), при прогнозе на мультипликативной зависимости – 5680,1 (рост на 1,4%).