Решение. Линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору

. (1)

Линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору. .

Решим эту систему методом Гаусса. Для этого составим матрицу:

Так как , то система векторов линейно зависима.

Пусть – базисные переменные, а – свободная переменная.

Подставим найденные в равенство (1).

– линейная зависимость между векторами.

Найдем базисы:

Так как вектор нельзя выразить через вектора , следовательно, эти вектора базиса не образуют.

4. Решить матричное уравнение где

Решение. Получили уравнение вида его решение таково: Найдем матрицу D.

Найдем тогда обратную матрицу найдем по формуле

Вычислим алгебраические дополнения элементов в матрице А по формуле

Таким образом

Значит

Ответ:

5. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Решение. Вычислим определитель, составленный из координат векторов . Вычитая из второй строки удвоенную первую, а из третьей – первую строку, умноженную на 3, получим

.

Разложим определитель по элементам первого столбца и запишем ответ

Так как определитель не равен нулю, то векторы образуют базис.

Найдем координаты вектора в базисе, образованном векторами . Запишем разложение вектора по указанному базису

Для определения координат вектора получаем систему уравнений

(1)

Решим систему, применяя метод Гаусса. Исключая неизвестное из всех уравнений системы кроме первого, получим:

Система (1) преобразуется в систему (2).

(2)

Из последнего уравнения системы (2) найдем у = 2, из предпоследнего найдем z = 3 и, наконец, из первого х = 1. Итак, координаты вектора (1, 2, 3).