Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Часто на практике приходится иметь дело с задачей прогнозирования случайных величин, и это является предпосылкой применения вероятностных моделей. Вероятностные модели позволяют вычислить вероятность того, что будущее значение параметра прогнозируемого процесса будет меньше определенного числа, например, вероятность того, что
.
Величина y может находиться в пределах так, как в соответствии с рис. 6.1 и
Рис. 6.1. Функция распределения вероятностей
Показанная на рисунке кривая распределения непрерывной случайной величины y является графиком функции распределения . Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин и является универсальной характеристикой случайных величин.
Зная функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной величины на заданный участок :
.
Для непрерывных случайных величин очень часто рассматривается
производная функции распределения
,
или плотность распределения непрерывной случайной величины y. Вероятность попадания случайной величины y на некоторый участок
.
Таким образом, прогнозирование вероятности того или иного события может быть осуществлено при прогнозировании рассмотренных функций распределения. Причем во многих практических случаях нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, а бывает достаточно спрогнозировать только некоторые параметры распределения (например, математическое ожидание и дисперсию).
В некоторых случаях полученные в результате наблюдений за прогнозируемым процессом данные могут быть описаны широкоизвестными распределениями непрерывных и дискретных случайных величин, среди которых: нормальное распределение, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, распределение Пуассона и некоторые другие.
Если вид и параметры названных распределений не меняются по времени и в распоряжении имеется достаточное по объему количество наблюдений, то решение задачи прогнозирования не вызывает особых затруднений. Строится эмпирическое распределение, решается вопрос о выборе для данного эмпирического распределения теоретической кривой распределения и по ней с требуемой точностью производится прогнозирование. Однако на практике, как правило, в распоряжении исследователя имеется ограниченная информация о процессе и, кроме того, не всегда можно гарантировать неизменность вида и параметров распределения. Эти условия предопределяют применение более сложных вероятностных моделей, базирующихся на последних достижениях теории вероятностей. К таким наиболее интенсивно разрабатываемым областям теории вероятностей относятся, в частности, теория малых выборок и теория суммирования случайного числа независимых случайных величин.
6.1. Приложение теории суммирования случайного числа
независимых случайных величин в задачах прогнозирования
Рис. 6.2. Постановка задачи
распределенным по закону . Требуется определить функцию распределения выходного параметра системы y.
Решение. Традиционным (основным) аналитическим аппаратом теории вероятностей и математической статистики является аппарат характеристических функций. Известно, что если – действительная случайная величина, то существует комплексная случайная величина (где – мнимая единица, t – действительное число).
Функция вида
,
где E – символ математического ожидания, называется характеристической функцией случайной величины , то есть характеристическая функция случайной величины есть математическое ожидание комплексной случайной величины .
Характеристическая функция безразмерна, а параметр t имеет размерность, обратную размерности случайной величины .
Используем основные свойства характеристических функций для решения задачи, из условия решения которой известно, что выходной параметр системы y зависит как от случайного числа скачков n на периоде упреждения, так и от случайной величины каждого скачка. При этом случайные величины независимы, одинаково распределены и не зависят от случайной величины n.
Примем, что число скачков на периоде упреждения прогноза может быть определено законом Пуассона
,
с параметром , причем для распределения Пуассона справедливо соотношение .
Случайная же величина y (величина скачка) имеет стандартное нормальное распределение с параметрами , и
плотностью вероятности
.
Таким образом, чтобы получить закон распределения выходного параметра, необходимо рассмотреть распределение суммы пуассоновского числа стандартных нормальных величин.
На основании мультипликативного свойства характеристической функции – характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций случайных величин, то есть если , то
,
можно записать, что интегральная функция распределения суммы случайного числа n случайных величин определяется характеристической функцией
,
где – характеристическая функция случайной величины .
Рассмотрим характеристическую функцию стандартного нормального распределения:
Так как интеграл , то .
Отсюда характеристическая функция суммы пуассоновского числа стандартных нормальных величин имеет вид
.
Для определенности случай из рассмотрения исключим. Тогда
.
Исходя из формулы обращения
;
,
тогда
.
В результате интегрирования получим искомую плотность распределения:
.
В табл.6.1. приведем формулы для характеристических функций, наиболее часто встречающихся при решении практических задач.
Решим поставленную задачу при условии, что величина скачка равномерно распределена на интервале . Такое допущение о законе распределения скачка представляется целесообразным для коротких динамических рядов. Симметричность интервала не снижает общности рассуждений.
Характеристическая функция для функции распределения суммы случайного числа случайных величин , распределенных равномерно на интервале ,
.
Таблица 6.1. Характеристические функции
Распределение | Плотность распределения | Характеристическая функция |
Равномерное | , | |
Равномерное | , | |
Показательное | , | |
Гамма | , | |
Нормальное | , |
В соответствии с формулой обращения запишем формулу для плотности распределения:
.
Изменяя порядок суммирования и интегрирования и учитывая, что симметричные законы распределения в характеристической функции не имеют членов, содержащих мнимую единицу, плотность распределения представим в виде
.
Используя табличный интеграл вида
,
находим плотность распределения выходной величины:
,
при , где и , при , .
В табл. 6.2 приведены выражения для плотностей распределения выходной координаты при других условиях решениях поставленной задачи.
Таблица 6.2. Расчетные соотношения для плотности распределения величины Y
Закон распределения числа скачков n | Закон распределения величины скачка y | Плотность распределения |
Пуассона, параметр | Нормальный, параметры | |
То же | Экспоненциальный, параметр | |
То же | Гамма-, параметры m, k | |
То же | Логнормальный, параметры |
Окончание табл. 6.2
То же | Равномерный [–a, a] | |
Биномиальный, параметр р | Нормальный, параметры | |
То же | Экспоненциальный, параметр | |
То же | Гамма-, параметры m, k |
Необходимо помнить, что если и , а , то для математического ожидания суммы случайного числа случайных слагаемых справедлива так называемая формула Вальда
.
Дисперсия суммы может быть определена через второй момент:
,
откуда
.
Рассмотрим еще один подход, при котором теоретическая вероятностная модель сочетается с экстраполяционной моделью на ЭВМ. Этот подход применяется тогда, когда вероятностную модель трудно составить из-за больших неопределенностей или модель трудно исследовать из-за ее сложности. При использовании этого метода, неопределенности «реализуются» случайным образом, путем использования процедуры Монте-Карло.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 1647 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!