![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Метод линейной интерполяции (метод хорд ). Пусть дано уравнение , где функция
непрерывна на [a;b] и f(a)f(b)<0. Для определенности положим f(a)>0 и f(b)<0. Тогда, вместо того чтобы делить отрезок [a;b] пополам (как это делается в методе половинного деления), более естественно поделить его в отношении f(a)/f(b). Это дает приближенное значение корня x1=b+h1, где
Далее, применив этот прием к тому из отрезков ([a;x1] или [x1;b]), на концах которого функция f(x)имеет противоположные знаки, получим второе приближение корня x2и т.д.
Геометрически способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)) (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация метода хорд
В самом деле, уравнение хорды AB есть .
Отсюда, полагая x=x1 и y=0, получаем .
Для сходимости метода хорд необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
а) неподвижен тот конец хорды, для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной f”(x);
б) последовательные приближения xn лежат по ту сторону корня ξ, где функция f(x) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f”(x).
Расчетная формула метода в случае неподвижной точки a:
.
Если отрезок [a;b] достаточно мал, то погрешность метода определяется так:
.
Таким образом, в этом случае, как только будет выполняться условие , где ε – заданная предельная абсолютная погрешность, гарантировано, что
.
2. Метод Ньютона (метод касательных). Пусть – корень уравнения
– отделен на отрезке [a, b], причем
и
непрерывны и сохраняют определенные знаки при
.
Положим , где
считаем малой величиной. Отсюда, применив формулу Тейлора, получим
0 = .
Следовательно,
.
Внеся эту поправку в формулу уточнения корня, можно найти следующее (по порядку) приближение корня:
(n = 0, 1, 2,...).
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой y = f(x) касательной, проведённой в некоторой точке кривой (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Геометрическая интерпретация метода Ньютона
Теорема. Если , причем
и
отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при
, то, исходя из начального приближения
, удовлетворяющего неравенству
, можно вычислить методом Ньютона
единственный корень уравнения
с любой степенью точности.
Применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки выбирается тот конец интервала
, которому отвечает ордината того же знака, что и знак
.
Условием завершения итерационного процесса является выполнение неравенства , где ε – заданная предельная абсолютная погрешность.
3. Модифицированный метод Ньютона. Если производная f’(x) мало изменяется на отрезке [a, b], то в расчетной формуле метода касательных можно положить ≈
.
Отсюда для корня уравнения f(x) = 0 получаем последовательные приближения
(n = 0, 1, 2,...).
Геометрически этот способ означает, что заменяются касательные в точках Bn[xn, f(xn)] прямыми, параллельными касательной к кривой y = f(x), в её фиксированной точке B0[x0, f(x0)] (рис. 2.3). Эта формула весьма полезна, если сложна.
Рис. 2.3. Геометрическая интерпретация модифицированного
метода Ньютона
4. Метод секущих. В алгоритме Ньютона требуется вычислить две функции для каждой итерации – и
. Метод секущих требует только одного вычисления функции
при одной итерации, и простой корень имеет порядок сходимости R
1,618033989. Этот метод почти так же быстр, как и метод Ньютона, который имеет порядок сходимости R=2.
В методе секущих используется такая же формула, как и в методе хорд, но существуют различные логические решения относительно способа поиска каждого последующего члена. Необходимо около точки иметь две начальные точки
и
, как показано на рис. 2.4. Определим
как абсциссу точки пересечения линии, проходящей через эти две точки, и оси 0X. Тогда на рис. 2.4 видно, что
будет ближе к корню
, чем
или
.
Рис. 2.4. Геометрическая интерпретация метода секущих
Уравнение, связывающее и
, находим, рассматривая тангенс угла наклона
и
.
Значения m в формуле равны тангенсу угла наклона секущей, которая проходит через два первых приближения к тангенсу угла наклона прямой, проходящей через точки и (x2; 0) соответственно. Приравняем правые части, решим относительно
.
Общий член, определенный согласно двухточечной итерационной формуле:
Условие завершения процесса приближений такое же, как и в методе Ньютона.
5. Комбинированный метод. Метод, используемый для вычисления значения корня с заданной точностью, заключается в поочередном применении метода хорд и метода касательных. Концы отрезка, содержащего корень уравнения, обозначим и
. Условимся обозначать через
тот конец отрезка, на котором знаки функции
и её второй производной
совпадают. Через точки
,
проведём хорду. Точку пересечения хорды с осью
обозначим через
. В точке
проведём касательную к кривой
. Точку пересечения касательной с осью
обозначим через
. Итак, получен новый отрезок с концами
и
, содержащий корень уравнения (рис. 2.5). Аналогично получаем отрезок с концами
,
и т.д.
Рис. 2.5. Геометрическая интепретация комбинированного метода
Расчётные формулы комбинированного метода для случая, приведенного на рис. 2.5, имеют следующий вид:
,
;
,
,
где .
Если корень уравнения требуется вычислить с точностью до , то процесс вычисления корня можно прекращать в тот момент, когда
. В качестве ответа взять среднее арифметическое последних полученных значений
и
, т.е.
.
Погрешность численного решения уравнения. Для оценки точности приближения можно воспользоваться формулой
,
Приведем еще формулу, позволяющую оценивать абсолютную погрешность приближенного значения , если известны два последовательных приближения
и
. Будем предполагать, что производная
непрерывна на отрезке
, содержащем все приближения, и сохраняет постоянный знак, причем
.
Примем для определенности, что последовательные приближения точного корня
вычисляются по формуле
(n = 1,2,…),
где конец является неподвижным. Отсюда будем иметь
.
Применив теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим
,
где и
. Следовательно
(2.1)
Поскольку сохраняет постоянный знак на отрезке
, причем
и
, то, очевидно, имеем
Из выражения (2.1) выводим формулу
, (2.2)
где за могут быть взяты соответственно наименьшее и наибольшее значения модуля производной
на отрезке
. Если отрезок столь узок, что имеет место неравенство
то из формулы (2.2) получаем
.
Таким образом, в этом случае, как только будет выполняться условие
,
где – заданная предельная абсолютная погрешность, гарантировано, что
.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 292 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!