Законы распределения случайной величины

Законы распределения случайной величины устанавливают связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Закон распределения можно задать в форме функции распределения F(x) (интегральная функция распределения) или плотности распределения f(x) (дифференциальная функция распределения).

F(x) = P(X< x) - вероятность того что, случайная величина X примет значение меньше x. Аргумент x функции распределения называется квантиль функции распределения.

f(x) = F′(x), вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (x + D x), при D x® 0.

При изучении распределения геофизических величин наибольшее распространение получили следующие законы.

Нормальный закон распределения

Интегральная функция распределения:

1.1

Дифференциальная функция (плотность) распределения:

1.2

где µ и s - параметры нормального закона распределения

Нормальный закон распределения широко распространен в природе. Плотность горных пород и скорость распространения упругих волн обычно подчиняются нормальному закону.

Нормальный закон распределение, имеющий параметры µ = 0 и s =1, называется стандартным или (0,1) нормальным распределением. Любое нормальное распределение может быть приведено к стандартному виду.

Равномерный закон распределения

Интегральная и дифференциальная функции распределения определяются формулами (1.3) и (1.4)

1.3

1.4

здесь a и b - границы интервала, в котором лежат значения случайной величины, они играют роль параметров распределения.

В практике геофизических исследований равномерный закон распределения используется, например, при априорном задании параметров аномалии или параметров ее источника.

Распределение Пуассона (Закон редких событий)

Распределение Пуассона используется в том случае, когда число испытаний велико, а вероятность появления случайной величины мала. Случайная величина - дискретная и принимает значения Х = 0,1,2,3...m... с вероятностью

1.5

1.6

Закон Пуассона - однопараметрический, μ = DX = a, a - параметр распределения. Для а > 4, распределение Пуассона стремится к нормальному закону.

В геофизике закон Пуассона применяют при анализе результатов измерений, в процессе которых проводится расчет суммы импульсов, фиксирующих радиоактивный распад какого-либо элемента за время t.

Для статистических оценок и проверки статистических гипотез используются распределения Пирсона, Стьюдента и Фишера.

В MATHCAD имеется ряд встроенных статистических функций, задающих законы распределения, которые можно разделить на 4 категории:

Вычисление дифференциальной функции (плотности) распределения f(x)

Вычисление интегральной функции распределения F(x)

Вычисление квантиля распределения

Генерация вектора независимых случайных чисел, имеющих заданный закон распределения

Синтаксис перечисленных функций приведен в табл. 1.1.

Таблица 1.1.

№	Синтаксис функции
	d*(x,par)
	p*(x,par)
	q*(p,par)
	r*(M,par)

Здесь * - символьное обозначение закона распределения, x – значение случайной величины; p –значение вероятности; par – список параметров распределения; M –размерность вектора случайных чисел.

Синтаксис функций MACHCAD для некоторых законов распределения приведен в табл.1.2.

Таблица 1.2.

Закон распределения	Синтаксис функции	Параметры
Нормальный	*norm(x,µ,σ)	µ-математическое ожидание, σ - среднеквадратичное отклонение
Равномерный	*unif(x,a,b)	a,b-границы интервала
Пуассона	*pois(k,λ)	λ>0-параметр
Пирсона (χ2)	*chisq(x,d)	d-число степеней свободы
Фишера	*F(x,d1,d2)	d1,d2 -число степеней свободы
Стьюдента	*t(x,d)	d-число степеней свободы

В Microsoft Excel статистические функции вызываются через МАСТЕР ФУНКЦИЙ, категория СТАТИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Например, чтобы рассчитать значение интегральной функции распределения для числа x в случае нормального закона или значения квантиля порядка γ, нужно использовать функции НОРМ.РАСП(x,μ;σ) и НОРМ.ОБР.(γ; μ;σ). Здесь μ и σ – параметры закона распределения.