Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей

В практике встречаются случаи, когда члены потоков платежей изменяются во времени. Такие изменения могут быть связаны с какими-либо обстоятельствами объективного порядка (например, условиями производства и сбыта продукции), а иногда и случайными факторами. Частным случаем такого потока является переменная рента. У последней члены потока изменяются по каким-то установленным (принятым, оговоренным и т.д.) законам или условиям развития. Если таких законов нет, то соответствующий поток можно назвать нерегулярным. Переменные потоки платежей встречаются относительно редко, во всяком случае существенно реже, чем постоянные.

Рента с постоянным абсолютным изменением членов во времени предполагает, что эти изменения происходят согласно арифметической прогрессии. Например, если выплачивается годовая рента постнумерандо, то размеры членов ренты образуют последовательность:

R, R + a, R + 2 a,..., R + (n - 1) а.

Величина t -гo члена такой ренты равна R + (t - l) a.

Определим наращенную сумму и современную стоимость ренты. Для этого вернемся к общей формуле современной стоимости потока, заменив в ней R_t на члены рассматриваемого ряда. Получим:

A = Rv + (R + a) v ² +... + [ R + (t - 1) a ] vⁿ, t = l... n. (5.1)

Умножим это равенство на (1 + i) и вычтем из обеих сторон полученного выражения соответствующие стороны равенства (5.1):

iA = R + av + av ² +... + av^{n -1} - avⁿ - (t - l) avⁿ.

После несложных преобразований находим:

(5.2)

Напомним, что a_n;i — современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1. Нетрудно видеть,что полученный результат представляет собой современную стоимость постоянной ренты с членом (R + a/i) за вычетом поправочной величины navⁿ/i.

Наращенную сумму такой ренты легко получить, умножив (5.2) на (1 + i) ⁿ. После чего

(5.3)

Определим теперь влияние на современную стоимость ренты абсолютного прироста платежей. Из формулы (5.1) следует, что A линейно зависит от a (см. рис. 5.1). (A ₀ — современная стоимость потока платежей при нулевом их приросте.)

(5.4)

Формулы (5.2) и (5.3) и их преобразования (5.4) и (5.5) получены для рент постнумерандо. Для рент пренумерандо находим:

(5.6)

(5.7)

Напомним, что — коэффициенты приведения и наращения дискретной постоянной ренты пренумерандо (см. параграф 4.5).