Построение линии среза

Если какая-либо модель (или деталь) срезана проецирующей плоскостью, и требуется построить фигуру среза в ортогональных проекциях, в аксонометрии и натуральную величину среза сечения, то сначала анализируют форму модели, т. е. определяют, из каких геометриче­ских тел она состоит. Мысленно расчленив мо­дель на составные геометрические тела, опре­деляют, какая геометрическая фигура полу­чится в пересечении каждого геометрического тела секущей плоскостью. Затем мысленно собирают отдельные линии среза в одну замкну­тую линию и приступают к построению. Выби­рают последовательность построений, переходя от одной части модели к другой.

На рис. 288 приведено построение линии среза в ортогональных проекциях, аксоно­метрии и построение его натуральной величины состоящей из трех геометрических тел. В ос­новании находится цилиндр, на нем стоит шестиугольная призма, на призме — усеченный конус. Тело рассечено фронтально-проецирую­щей плоскостью так, что пересекается поверх­ность всех трех геометрических тел. Сначала надо представить себе, какая геометрическая фигура будет лежать в срезе каждого рассе­ченного здесь геометрического тела. Начинать анализ можно как с цилиндра, так и с конуса, но анализировать следует последовательно, мысленно представляя фигуру среза всей мо­дели.

Начнем с конуса. При продолжении очерко­вых линий конуса и следа плоскости Р_ѵ видно, что плоскость пересечет все образующие кону­са, значит, на срезе должен получиться эл­липс. Но так как плоскость Р пересекает еще основание конуса, то на срезе будет не полный эллипс, а только его часть. Последние две точки эллипса лежат на нижнем основании ко­нуса. Нижнее основание конуса с плоскостью Р пересекается по прямой линии (как две плоскости). В этой же плоскости нижнего ос­нования конуса лежит верхнее основание шестиугольной призмы (они сливаются), кото­рое с плоскостью Р тоже пересекается по прямой, частично совпадающей с прямой, по которой пересекается основание конуса.

На сторонах верхнего основания шести­угольной призмы будут лежать две точки, при­надлежащие срезу. Далее, две боковые гра­ни призмы пересекаются с плоскостью Р по двум отрезкам от точек, лежащих на верхнем основании призмы, до точек, лежащих на бо­ковых ребрах. В пересечении следующих двух граней призмы с плоскостью Р тоже получают­ся отрезки прямых. Последние две точки, в ко­торых призму пересекает плоскость Р, лежат на. сторонах ее нижнего основания. Итак, поверхность призмы пересекается по двум оди­наковым ломаным линиям.

Последнее геометрическое тело, пересекае­мое плоскостью Р, — цилиндр. Плоскость Р пересекает верхнее основание цилиндра по отрезку прямой, совпадающей с прямой, по которой пересекает плоскость Р нижнее осно­вание призмы. Далее плоскость Р рассекает часть боковой поверхности цилиндра. Так как плоскость Р расположена наклонно к образую­щим цилиндра, то в плоскости среза будет часть эллипса.

Итак, представив себе форму линии среза, можно приступать к ее построению. Начинать строить точки, принадлежащие срезу нужно в той же последовательности.

Сначала строят точки, принадлежащие эл­липсу, по которому пересеклась поверхность конуса. В точке V след плоскости Р_ѵ пересек крайнюю правую образующую. С помощью линий проекционной связи строят горизонталь­ную и профильную проекции этой точки. Фрон­тальные проекции точек 2 и 3 лежат на од­ноименных проекциях двух образующих, сли­вающихся с осью конуса. Эта пара образую­щих на профильной проекции будет крайней. Горизонтальные проекции точек 2 и 3 построе­ны после того, как определены их профильные проекции. Горизонтальные и профильные проекции точек 4 и 5, лежащих на нижнем ос­новании конуса, строят с помощью линий проекционной связи. Расстояние между точка­ми 2, 1, 3 велико для того, чтобы их можно было соединить плавной кривой линией от руки. Между этими точками необходимо по­строить еще дополнительные точки. Для этого между точками 2, 1, 3 проводят параллель. На этой параллели находятся точки А и В, кото­рые принадлежат линии среза. На горизон­тальную плоскость. проекций эта параллель проецируется в окружность. Радиус ее равен расстоянию от оси конуса до крайней образую­щей. Затем на эту окружность с фронтальной проекции проводят линию проекционной связи для построения точек а и b. На профильной проекции точки а" и b" строят с помощью линий проекционной связи, проведенных с фронталь­ной и горизонтальной проекций.

Затем строят линию пересечения плоскости Р с призмой. Фронтальная проекция верхнего основания призмы, совпадающего с нижним основанием конуса, пересекается со следом плоскости Р_ѵ в точках 6' и Т. С помощью ли­ний проекционной связи строят горизонталь­ные и профильные проекции этих точек. Снача­ла строят точки на той плоскости проекций, где основание призмы проецируется как шести­угольник (горизонтальная плоскость проек­ций), а потом там, где оно проецируется в линию (профильная плоскость проекций). Строят точки 8 и 9, которые лежат в пересечении плоскости Р с двумя ребрами боковой поверхности, проецирующимися на плоскость V в прямую. На горизонтальную плоскость проекций эти ребра, с лежащими на них точка­ми 8 и 9, проецируются в точки, совпадающие с проекциями вершин основания. На плоскости W проекции этих ребер сливаются с проекциями двух боковых граней и изображаются как две крайние очерковые линии призмы, на которые с фронтальной проекции проводят линии проекци­онной связи и строят проекции точек 8 и 9. Ниж­нее основание призмы пересекается с плос­костью Р в точках 10 и 11. Эти точки строят так же, как точки 4 и 5, лежащие на верхнем осно­вании призмы.

Теперь строят точки линии пересечения плос­кости Р с цилиндром. Фронтальная проекция верхнего основания цилиндра изображается от­резком, совпадающим с проекцией нижнего основания призмы. Верхнее основание цилинд­ра пересекается с плоскостью Р в точках 12 и 13, которые на фронтальной проекции слива­ются в одну точку и совпадают с проекциями то­чек 10 и 11, так как лежат на одной прямой, перпендикулярной к плоскости V. С помощью линий проекционной связи строят сначала точ­ки 12 и 13 на горизонтальной проекции осно­вания цилиндра, а потом на профильной про­екции. На фронтальной плоскости проекций след Р_ѵ пересекает левую крайнюю образующую цилиндра в точке 14. На горизонтальную плос­кость проекций точка 14 проецируется в ту же точку, что и сама крайняя образующая цилиндра, т. е. в точку, лежащую в месте пере­сечения окружности основания с горизонталь­ной центровой линией. На плоскость W эта крайняя образующая проецируется, совпадая с осью цилиндра, где и строится точка 14. Между точками 12, 13 и 14 следует взять еще две промежуточные точки для построения плавной кривой линии — эллипса. Для это­го на фронтальной плоскости проекций про­извольно берут фронтальные проекции точек С и D, которые здесь проецируются в одну точку. Затем строятся их горизонтальные (c и d) и профильные (с" и d") проек­ции.

Построение точек, принадлежащих линии среза данной модели, пересеченной плоскостью Р, закончено. Теперь необходимо последова­тельно соединить построенные точки. Кривые линии соединяют от руки и обводят по лекалу, а ломаные линии соединяют с помощью ли­нейки (см. рис. 288).

Натуральная величина фигуры среза по­строена на рис. 288 способом перемены пло­скостей проекций, где плоскость Н заменена плоскостью N, перпендикулярной к плоскости V и параллельной плоскости Р.

В прямоугольной изометрической проекции часть точек, принадлежащих линии среза конуса, построена по координатам. Сначала в плоскости нижнего основания построены вто­ричные горизонтальные проекции этих точек, а потом от них параллельно направлению аксо­нометрической оси Oz проведены прямые ли­нии, на которых по высоте отложены расстоя­ния до соответствующих точек, взятые с фрон­тальной плоскости проекций от нижнего осно­вания конуса до точек, лежащих на линии среза.

Точки 6, 7, 8, 9 построены на ребрах призмы путем измерения действительных размеров ре­бер на фронтальной проекции и переноса соот­ветственно в изометрию, так как ребра в изометрии параллельны аксонометрическим осям и изображаются без искажения. Точки 10, 11, 12 и 13 этим способом строить нельзя, так как точки 10 а 11 лежат на ребрах ниж­него основания, не параллельных осям Ох и Оу, точки 12 и 13 лежат на окружности верх­него основания цилиндра. Для их построения в прямоугольной изометрии параллельно на­правлению оси Оу проводят прямую, связы­вающую эти точки, на таком расстоянии от центра окружности, в которой они расположе­ны, на каком она проходит на плоскости Н. Точку 14 строят на образующей, выходящей из конца центровой линии основания, идущей параллельно направлению оси Ох. Образую­щая будет параллельна направлению оси Oz. На ней откладывают рассеяние, взятое с фронтальной проекции от нижнего основания цилиндра до точки 14'. Точки С и D построены с помощью прямой, связывающей их. Она па­раллельна направлению оси Оу. Из точек пе­ресечения этой прямой с окружностью нижнего основания цилиндра проводят образующие па­раллельно направлению оси Oz и на них от­кладывают расстояния до точек С и D, взятые с фронтальной проекции, от нижнего основа­ния до точек с' и d'.

В практике часто используются детали, фор­ма которых представляет собой частично сре­занные тела вращения. При выполнении чер­тежей таких деталей необходимо уметь строить эти линии среза.

Приступая к выполнению чертежа такой детали, прежде всего определяют границы между геометрическими телами, из которых состоит деталь. Для этого надо хорошо знать, как образуются различные поверхности вра­щения.

На рис. 289 показана заготовка рукоятки, расчлененная на составные элементы. Она со­стоит из шара двух усеченных конусов, тора и цилиндра. Все эти геометрические тела имеют общую ось вращения, вдоль которой они срезаны двумя плоскостями. На рис..290 эта де­таль изображена в трех ортогональных проек­циях и изометрии. Линия среза выполнена фронтальными плоскостями, расположенными на одинаковом расстоянии от оси детали. Ли­нии среза поэтому будут одинаковыми, и строить нужно только одну из них.

Прежде чем приступить к построению линии среза, определяют границы перехода поверх­ности одного геометрического тела в другое. Так как тела вращения имеют здесь общую ось, то границами в каждом случае будут ок­ружности. Для построения проекции этих ок­ружностей на фронтальной плоскости, где они изобразятся отрезками, находят точки каса­ния, сначала образующих конуса и окружнос­ти очерка шара. Для этого из центра шара к крайним образующим конуса проводят перпен­дикуляры. То же самое делают при опреде­лении границы между конусом и тором, где из центра образующей тора проводят перпен­дикуляр к крайней образующей конуса. За­данная длина образующих цилиндра дает с левой стороны границу между тором и цилинд­ром, а с правой — между цилиндром и кону­сом.

Определив границу между смежными эле­ментами, мысленно представляют себе фигуру линии среза, которая получится в каждом отдельном случае. Поверхность шара будет пе­ресекаться по окружности, конуса — по гипер­боле, тора — по кривой линии, цилиндра — по образующим, правого последнего конуса — по гиперболе.

Представив себе линию среза, приступают к построению. Сначала строят окружность, по которой плоскость пересекает шар. Радиус ее берут на горизонтальной проекции от цент­ровой линии шара до точки а. На фронталь­ной проекции из центра шара описывают окружность до пересечения с окружностью, кото­рая проецируется в прямую в точках 1 ' и 2'. Эти точки принадлежат концам гиперболы, по которой пересекается конус, граничащий с ша­ром.

Сначала строят фронтальную проекцию b' вершины гиперболы с помощью линий проек­ционной связи, проведенных с горизонтальной проекции, где она получилась в результате пересечения крайних образующих конуса с се­кущей плоскостью. Для построения промежу­точных точек гиперболы 3, 4, 5 и 6 проводят параллели на поверхности конуса и находят точки, в которых они пересекаются с плоскостью среза. При построении этих точек используют профильную проекцию, на которой параллели изобразятся как окружности, а плоскости, сре­зающие их,— как отрезки. Видимая на фрон­тальной проекции линия среза на профильной проекции располагается справа от оси изобра­жения, но для удобства построения точки, при­надлежащие линии среза, определяют слева, так как фигуры среза одинаковые, а профиль­ная проекция при этом не перечеркивается ли­ниями проекционной связи, затрудняющими чтение чертежа.

Линия среза рукоятки фронтальной плос­костью состоит из двух частей. Одна часть ее построена. Теперь строят вторую. Сначала строят образующие, по которым пересекается боковая поверхность цилиндра с плоскостью. Для этого на профильной проекции справа проведена часть окружности цилиндра до пе­ресечения ее с плоскостью в точках е" и f". В эти точки на профильную проекцию прое­цируются искомые образующие. С помощью линий проекционной связи расстояние между образующими (отрезок e"f") переносят на фронтальную проекцию, где проводят две ли­нии пересечения боковой поверхности цилиндрa с плоскостью. Длина их равна длине за­данного цилиндра. С левой стороны конечные точки этих образующих будут начальными точками кривой линии, по которой плоскость пересекает тор, так как они лежат на границе между цилиндром и тором. Вершину линии среза тора — точку с' строят на фронтальной проекции с помощью линии проекционной свя­зи, проведенной с горизонтальной проекции, где эта точка получилась в результате пере­сечения образующей тора с плоскостью среза. Промежуточные точки 7' и 8' на фронтальной проекции строят с помощью произвольно про­веденной параллели. Построенные точки соеди­няют от руки и обводят по лекалу.

Гипербола, по которой пересекается правый конус, строится без промежуточных точек, так как вполне достаточно трех имеющихся точек. Точки е' и f׳ будут концами ветви гиперболы, а фронтальная проекция вершины d' строится с помощью линии проекционной связи, прове­денной с горизонтальной проекции от точки d, которая получилась в результате пересечения крайней образующей конуса с секущей плос­костью.

Линии среза на горизонтальной и профиль­ной проекциях проецируются в отрезки.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Какой геометрической фигурой является фигура среза многогранника плоскостью, расположенной наклон­но к его основаниям?

2. Какой геометрической фигурой является линия пере­сечения тела вращения плоскостью общего положения?

3. Какие линии получатся при пересечении конуса плоскостью, параллельной одной его образующей и парал­лельной двум его образующим?

4. Какая линия получится в пересечении цилиндра на­клонной плоскостью, пересекающей все его образующие?

Какие геометрические фигуры получатся при пере­сечении шара плоскостями различного положения?

ГЛАВА X