Трансформатора

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ

ПРОЦЕССОВ НА ЭВМ

Омск 2006

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ

ПРОЦЕССОВ НА ЭВМ

Методические указания

К лабораторным работам

Омск – 2006

.

Cоставители: Шкаруба Михаил Васильевич,

Эрнст Александр Дмитриевич

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ ХОЛОСТОГО ХОДА

ТРАНСФОРМАТОРА

Цель работы: Исследовать переходный процесс, возникающий при включении

однофазного трансформатора с разомкнутой вторичной обмот-

кой под синусоидальное напряжение.

Пояснения к работе.

Рассматриваемый процесс включения однофазного трансформатора с разомкнутой первичной обмоткой (рис.1.1) полностью идентичен процессу включения катушки с ферромагнитным сердечником под синусоидальное напряжение и описывается уравнением [1]

, (1.1)

где Um - амплитуда синусоидального напряжения; a - фаза напряжения при t=0 (фаза включения); - потокосцепление первичной обмотки; n₁ - число витков первичной обмотки; Ф – магнитный поток; - мгновенное значение тока холостого хода; r - активное сопротивление первичной обмотки.

Предполагается, что магнитная характеристика трансформатора (характеристика холостого хода) известна (рис. 1.2). Так как магнитная характеристика нелинейна, то и дифференциальное уравнение (1.1) будет нелинейным.

Решить это дифференциальное уравнение можно, например, методом условной линеаризации [1], который заключается в следующем. Пусть второе слагаемое в первой части уравнения (1.1) мало по сравнению с первым. Такое условие соблюдается, например, при включении мощных трансформаторов с разомкнутой вторичной обмоткой, так как активное сопротивление r у них обычно незначительно. Поэтому второе слагаемое имеет второстепенное значение по сравнению с членом и неточность его вычисления существенно не повлияет на определение параметров переходного процесса.

Зависимость является нелинейной, так как L есть функция , но в данном случае можно приближенно принять L=const, и связь между и становится линейной:

(1.2)

Рис.1.1– Исследуемая схема включения однофазного трансформатора

Рис.1.2 – Магнитная характеристика трансформатора

Рис. 1.3 – Кривая и ее составляющие:

1 – апериодическая ; 2 – периодическая

Отсюда можно выразить и подставить в уравнение (1.1). Тогда уравнение (1.1) примет вид

. (1.3)

Уравнение (1.3) становится линейным и имеет решение

(1.4)

где - амплитуда потокосцепления; (a – j) – фаза включения потокосцепления; угол .

Так как r<<(), угол . Максимум потокосцепления соответствует фазе включения напряжения и определяется уравнением

, (1.5)

так как в этом случае . На рис. 1.3 приведена зависи–мость и ее составляющие – и . Макси-мальное мгновенное значение потокосцепления имеет место через поло–вину периода и при f =50 Гц можно записать

(1.6)

Из выражения (1.6) следует, что при большой постоянной времени максимальное значение потокосцепления равно примерно , а ударный коэффициент [2] .

На рис. 1.2 приведена магнитная характеристика трансформатора. В установившемся режиме работы трансформатора амплитудное значение потокосцепления находится вблизи колена магнитной характеристики. Этому значению потокосцепления соответствует наибольшая по величине амплитуда тока , но при включении трансформатора амплитуда потокосцепления превышает (рис. 1.3), рабочая точка переходит в область насыщения кривой намагничивания, что приводит к очень большим броскам тока намагничивания.

На рис. 1.4 показана форма тока, соответствующая зависимости и построенная по кривой намагничивания. Видно (рис 1.4), что зависимость сильно отличается от синусоиды, особенно в начальной стадии переходного процесса. Это происходит потому, что при насыщении сердечника индуктивность становится нелинейной и вызывает возникновение нелинейного тока. Нелинейный ток можно разложить на высшие гармоники. (В курсе ”Электромагнитные переходные про-цессы” разложение тока на высшие гармоники не рассматривается. Однако в последние годы в электроэнергетике стали уделять большое внимание вопросам качества электроэнергии и студенты должны знать, что индуктивное сопротивление трансформатора при насыщении становится нелинейным, а нелинейное сопротивление можно рассматривать как генератор высших гармоник [1], ко-торое приводят к искажению синусоидальной формы тока и напряжения и, следовательно, ухудшение качества электроэнергии. Данная лабораторная работа очень удобна для знакомства с этим вопросом, полученные сведения будут использованы в курсах ”Электроснабжение промышленных предприятий”, ”Изоляция и перенапряжения в СЭС” и других).

Разложим ток на высшие гармоники. Из курса математики известно, что любую периодическую функцию y=f(x), удовлетворяющую условиям Дирихле, можно разложить в ряд Фурье, а, как известно, все периодические функции электротехники условиям Дирихле удовлетворяют [1]. В общем виде разложение функции y=f(x) в ряд Фурье можно представить так [1]:

(1.7)

Здесь - постоянная составляющая; -амплитуда основной (первой) синусной гармоники; -амплитуда высшей (k-й) синусной гармоники; - амплитуда основной (первой) косинусной гармоники; - амплитуда высшей (k-й) косинусной гармоники.

Если периодические кривые обладают симметрией того или иного вида, то некоторые коэффициенты в разложении в ряд Фурье (1.7) обращаются в нуль [1]. Так, если кривая симметрична относительно оси ординат,то в разложении в ряд Фурье отсутствуют следующие коэффициенты: - и оно принимает вид:

(1.8)

Амплитуды постоянной составляющей и гармоник определяются по формулам [1]

и (9.1)

Коэффициенты ряда Фурье по известной кривой y=f(x) можно определить графическим методом [1], основанным на замене определенных интегралов (1.9) суммами конечного числа слагаемых. С этой целью период функции f(x), равный , разбивается на n равных частей и интегралы заменяются суммами:

и

(1.10)

Здесь p - текущий индекс, он принимает значение 1….n; - значение функции f(x) в середине p-го интервала; - значение функции в середине p-го интервала.

Однако ток холостого хода трансформатора во время переходного процесса в общем случае периодической функцией не является, поэтому, строго говоря, его разложить на гармоники нельзя. Вместе с тем, рассматривая переходный процесс за один период можно считать функцию квазипериодической. Это после разложения кривой тока на высшие гармоники позволяет определить действующее значение тока и тепловой импульс за первый период [3]. Иное дело – ток в цепи при r=0. В этом случае функция будет периодической и симметричной относительно оси ординат (рис 1.5).

Ряд Фурье для тока намагничивания при r=0 принимает вид:

(1.11)

где -постоянная составляющая; -амплитуда k-й косинусной гармоники

В лабораторной работе при определении постоянной составляющей и амплитуд косинусных гармоник период разбивается на 48 частей, и они определяются по формулам:

(1.12)

где - значения тока в середине р-го интервала;

- значение функции в середине р-го интервала.

Число гармоник в лабораторной работе выбирается так, чтобы по-грешность вычисления амплитуды тока не превышала 5%, поэтому она зависит от исходных данных и изменяется от 5 до 7. На рис. 1.6 приведено разложение тока намагничивания на гармоники при r=0.

Наибольшее значение тока намагничивания – бросок намагничивающего тока возникает через полупериод (0,01 с). Величина может в десятки раз превосходить амплитуду тока установившегося режима . Следовательно, в нелинейных цепях ударный коэффициент может значительно превосходить максимальное значение в линейных цепях не превышающее значения . Такой всплеск тока может вызвать механические разрушения обмотки, так как электродинамические усилия пропорциональны квадрату тока.

Рис. 5. Кривая тока для R=0

Рис.1.4 – Кривая тока, соответствующая и построенная по кривой

намагничивания

Рис. 1.5 – Кривая тока для r=0

Оценка бросков намагничивающего тока важна и для правильной работы защиты трансформатора, которая не должна срабатывать при его включении. Для этого можно мощный ненагруженный трансформатор включить через дополнительное сопротивление , которое затем необходимо замкнуть накоротко (рис. 1.1)

В лабораторной работе зависимость y(t) строится по уравнению (1.5), а зависимость – по рис. 1.4 [2]. Поэтому необходимо ввести в ЭВМ магнитную характеристику трансформатора, лежащую в I и III квадрантах. Так как кривая намагничивания симметрична, то достаточно определить характеристику в I квадранте. В численных расчетах нелинейную зависимость обычно аппроксимируют несколькими линейными участками. В лабораторной работе не требуется высокой точности расчетов, поэтому магнитную характеристику одного квадранта достаточно заменить пятью линейными участками (рис. 1.7).

В табл. 1.1 приведены номинальные напряжения силовых трансформаторов и координаты точек излома линейных участков магнитных характеристик для различных сортов стали [4]. Сердечник трансформатора выбран так, чтобы при максимальном напряжении, приложенном к нему, , ток был практически синусоидальным. Однако во время переходного процесса напряжение превышает , ток начинает отличаться от синусоиды и появляются высшие гармоники.

Среднее значение индуктивности L обмотки с сердечником определялось в точке 3 кривой намагничивания (рис 1.7) и приведено в табл. 1.2.

Рис. 6.1– Разложение тока на гармоники

Рис. 7.1– Построение кривой намагничивания в I квадранте.