Условный экстремум функций нескольких переменных при ограничениях в виде равенств и неравенств

Прикладные задачи, как правило, имеют такую особенность, что помимо ограничений типа равенств присутствуют ограничения типа неравенств вида

, (2.19)

где вектор . Например, при приобретении нового оборудования, предназначенного увеличить выпуск продукции, существуют ограничения на его стоимость. Таким образом, приходим к задаче получения максимальной прибыли при ограничении вида (2.19). Параметры конструкции, которыми мы можем в той или иной степени распоряжаться (угол поворота рулей, величина тяги двигателя и т.п.), всегда ограничены. И в этих случаях возникают задачи аналогичные по постановке задаче с закупаемым оборудованием.

Рассмотрим следующую задачу.

Минимизировать функцию

, (2.20)

где , при ограничениях в виде равенств

~ , , (2.21)

и ограничениях в виде неравенств

~ , . (2.22)

Дадим геометрическую интерпретацию поставленной задаче.

Каждое из ограничений (2.21), (2.22) в пространстве переменных выделяют соответственно области и (этот факт отражен в записях (2.21), (2.22)), т.е. в каждой точке области выполняются все ограничения (2.21), а в каждой точке области ограничения (2.22). Пересечение этих областей обозначим как область D. Таким образом, в каждой точке области D вычисляются как ограничения (2.21), так и ограничения (2.22).

Пример. Пусть при и должны быть такими, что

;

;

; (2.23)

.

На рис. 2.3 жирной линией показана допустимая область D, точки которой удовлетворяют ограничениям (2.23).

Используя понятие допустимой области, исходную задачу перефразируем так: среди точек допустимой области D найти такую точку, в которой целевая функция достигает минимума.

Ограничения типа неравенств превратим в ограничения типа равенств. Воспользуемся следующим приемом. Вместо (2.22) будем рассматривать равенства

, , (2.24)

где – подлежащие определению вещественные числа. Ограничения (2.22), (2.24) – эквивалентны. Действительно, какими бы не оказались числа , , а потому (2.22) и выполняются. Таким образом, получена задача (2.20), (2.21), (2.24), которая нами уже изучена (целевая функция с ограничениями в виде равенств). Формируем функцию

, (2.25)

где , и записываем необходимые условия экстремума функции по переменным , ; , ; , (всего таких переменных ):

, ;

, ; (2.26)

, ; (2.27)

,

Уравнений, как и неизвестных, .

Рассмотрим академический пример.

Пусть ,

.

Требуется найти такое значение , при котором целевая функция достигнет минимума.

Имея в виду приведенный выше алгоритм, последовательно запишем, что

,

где X – дополнительная неизвестная величина. Необходимые условия имеют вид:

;

;

.

Последнее уравнение полученной системы имеет два решения:

а) ; б) .

Вариант а) в силу двух первых уравнений требует, чтобы , что не возможно. Вариант б) имеет решение: , т.е. (решение не удовлетворяет условию ).

Задача решена, рис. 2.4.

Задача минимизации километрового

расхода горючего самолета

Рассмотрим полет самолета на постоянной высоте, рис. 2.5.

Уравнения такого полета получим из уравнений (2.8) при , т.е.

; (2.28)

.

Для силы лобового сопротивления X и подъемной силы Y существуют зависимости

; , (2.29)

где , считаются заданными, а , т.е. плотность известным образом зависит от высоты h. Таким образом, выходит, что , .

Одной из важнейших характеристик самолета является его километровый расход горючего (расход горючего в килограммах на один км пути относительно воздуха). Расход этот подсчитывается по формуле [6]

, (2.30)

где с – известная константа. Входящая в уравнения (2.28) и целевую функцию y (2.30) тяга P является функцией высоты h и скорости полета V, т.е. . Эта зависимость дается в виде номограмм, рис. 2.6.

Заметим, что наибольшую тягу двигатель развивает при .

Как следует из рис. 2.6, для каждой конкретной высоты h величина тяги не может превысить некоторого наибольшего значения , т.е.

.

Последнее соотношение можно записать в виде

, (2.31)

где константа V ₁ подлежит определению.

Поставим следующую задачу.

Определить такие значения скорости V ивысоты полета h, угла атаки , чтобы километровый расход горючего y достигал минимума.

Для данной задачи вспомогательная функция

(2.32)

Необходимые условия экстремума (2.26), (2.27) запишутся как

;

;

; (2.33)

;

;

;

.

Система из семи уравнений (2.33) содержит такое же количество неизвестных .

Заметим, что для последнего уравнения системы (2.33) возможны два варианта:

а) ;

б) . (2.34)

Каждый из этих случаев необходимо исследовать отдельно. Объем необходимых вычислений как бы удваивается. В задачах с тремя ограничениями типа неравенства объем вычислений учетверяется и т.д. В этом заключается один из существенных недостатков изложенного классического подхода.