Теоретическая часть. В основе теории цепей лежат два закона Кирхгофа

В основе теории цепей лежат два закона Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю:

.

Токи, входящие в узел, берутся с одним знаком, а выходящие с противоположным.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на всех элементах контура равна нулю:

.

Выбирают направление обхода контура. Напряжения, совпадающие с направлением обхода контура, записывают со знаком плюс, а направленные навстречу - со знаком минус. Так как напряжение на источнике ЭДС равно самой ЭДС, то применяют другую формулировку второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на всех элементах контура, кроме источника ЭДС, равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС, входящих в этот контур.

.

Напряжения и ЭДС, совпадающие с направлением обхода контура, записывают со знаком плюс, а направленные навстречу - со знаком минус.

Пусть - число узлов схем, - число ветвей схемы, - число ветвей с источником тока. Система уравнений Кирхгофа включает: уравнений по первому закону и ( уравнений по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону Кирхгофа пишут для контуров, отличающихся друг от друга хотя бы одной ветвью, не содержащей источник тока.

Пример записи системы уравнений по законам Кирхгофа

Согласно рис. 1.6:

Рис. 1.6

Уравнения Кирхгофа позволяют рассчитать режим любой цепи. Недостатком их является громоздкость получающейся системы уравнений.

На практике часто возникает задача рассчитать входное сопротивление цепи, когда известны элементы цепи и способ их соединения. Входным сопротивлением электрической цепи называется отношение приращения напряжения к приращению тока на входе этой цепи. Простейшие виды соединений пассивной цепи - это последовательное, параллельное и смешанное соединения элементов.

Последовательным называется такое соединение, при котором через все последовательно соединенные участки цепи проходит один и тот же ток. При последовательном соединении конец каждого элемента соединен только с началом следующего элемента. На рис. 1.7 показано последовательное соединение n сопротивлений.

Рис. 1.7

По второму закону Кирхгофа: .

Тогда .

Входное сопротивление этой цепи

При последовательном соединении Rвх больше любого сопротивления, входящего в это соединение.

Напряжение на каждом сопротивлении может быть найдено по законуОма:

Таким образом, напряжение на каждом сопротивлении меньше, чем на входе. Чем больше сопротивление, тем большая часть входного напряжения падает на нем.

Параллельным называется такое соединение, при котором к элементам приложено одно и то же напряжение. При параллельном соединении элементы подключены к одной паре узлов. Параллельное соединение сопротивлений показано на рис. 1.8.

Рис. 1.8

По первому закону Кирхгофа: .

Тогда . При параллельном соединении большого количества элементов просто находится входная

проводимость gвх. Входная проводимость gвх является обратной величиной от входного сопротивления gвх =1/ Rвх. Тогда

где каждый ток I_k определяют по закону Ома: I_k = U_k / R_k.

Если параллельно соединены два сопротивления, то для вычисления Rвх удобнее использовать следующую формулу:

.

Смешанным называется такое соединение, при котором имеются только участки с последовательным и параллельным соединением элементов. Для расчета Rвх такого соединения ко входу подключают источник энергии. Рассматривают, как ток протекает по ветвям схемы. Последовательно сворачивают схему, начиная с самой нагруженной и удаленной от входа (источника) ветви. Находят участки с последовательным или параллельным соединением элементов. Определяют эквивалентное сопротивление. Схем сворачивают до одного эквивалентного элемента – это и есть Rвх.

Для расчета режима цепей с одним источником энергии и не очень сложной структурой рационально применять метод свертки.

Примерный порядок расчета.

1. Выбирают положительное направление токов ветвей, учитывая направление источника энергии.

2. Схему разбивают на участки, включающие один элемент. Концы участков нумеруют.

3. Начиная с самой нагруженной и удаленной от входа (источника) ветви, находят участки с последовательным или параллельным соединением элементов. Определяют эквивалентное сопротивление. Схему сворачивают до тех пор, пока в ней останется только источник энергии и один эквивалентный элемент – это и есть Rвх. В полученной схеме по закону Ома определяют неизвестный ток Iвх или напряжение Uвх.

5. Последовательно разворачивая схему, определяют неизвестные токи ветвей и напряжения на элементах схемы по закону Ома.

6. Проверку правильности расчета проводят по методу уравнений Кирхгофа или балансу мощностей.

Пример

Рис. 1.9

Схему последовательно сворачивают (см. рис. 1.9-1.11): R_Э1=R₃+R₇.

Рис. 1.10

R_Э2=(R_6*R_Э1)/(R₆+ R_Э1); R _Э3=R ₂+R _Э2+R ₈; R _{Э 4}= R₁ + R ₄.

Рис. 1.11

R _Э5 = (R _{Э3 *} R _Э4) / (R _Э3 + R _Э4); R _{ВХ =} R ₅ + R _Э5; U_J = U₁₇ = R _{ВХ *} J.

В обратной последовательности схему разворачивают:

U₁₅ = R _{Э5 *} J; U₅₇ = R _{5 *} J; I₁ = U₁₅ / R _Э4; I₂ = U₁₅ / R _Э3;

U₁₆ = R _{1 *} I₁; U₆₅ = R _{4 *} I_1; U₁₂ = R _{2 *} I₂; U₂₄ = R _{Э2 *} I ₂; U_{4 5}= R _{8 *} I ₂

I₃ = U₂₄ / R _Э1; I₆ = U₂₄ / R _6; U₂₃ = R _{3 *} I₃; U₃₄ = R _{7 *} I_3.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4