Примеры практического приложения булевой алгебры. Переключательные схемы

Математический аппарат булевой алгебры нашел широкое применение при проектировании технических устройств различной природы – электрических, механических, пневматических, электромагнитных, электронных, гидравлических и многих других.

В качестве примера рассмотрим электрическую схему, состоящую из источника напряжения (батареи), лампочки и одного или двух ключей (х ₁ и х ₂). Ключи управляются кнопками с двумя состояниями: 1 (кнопка нажата) и 0 (кнопка отпущена). Если в исходном состоянии ключ разомкнут, то при нажатии кнопки он замыкается (такой ключ – нормально разомкнутый). Ключ может быть сконструирован и так, что в исходном состоянии он замкнут (нормально замкнутый ключ), тогда нажатие кнопки означает его размыкание, т.е. приводит к противоположному результату. Поэтому нормально замкнутые ключи обозначим через и .

При соответствующих состояниях кнопок лампочка принимает одно из двух состояний: горит (1) и не горит (0). Состояния кнопок отождествляются со значениями булевых переменных х ₁ и х ₂, а состояние лампочки – со значениями функции f (x ₁, х ₂) этих переменных.

Операции отрицания соответствует переключательная схема с одним нормально замкнутым ключом (рис.4.1). Если кнопка нажата (х =1), ключ размокнут и лампочка не горит, т.е. f (x)=0; при отпущенной кнопке (х =0) ключ замкнут и лампочка горит, т.е. f (x)=1.

Операциям дизъюнкции и конъюнкции соответствуют схемы с двумя нормально разомкнутыми ключами (рис.4.2, 4.3). Легко убедиться, что в схеме на рис.4.2 лампочка горит при нажатии хотя бы одной из кнопок, а в схеме на рис.4.3 – только при нажатии обеих кнопок одновременно.

Любую булеву функцию, даже самую сложную, можно представить переключательной схемой.

На рис.4.4 показана схема, реализующая функцию . Та же функция представляется равносильной формулой , которой соответствует более простая схема (рис.4.5). Следует иметь ввиду, что ключи, обозначенные одинаковыми буквами (например, х ₁ и ), связаны между собой и управляются общей кнопкой, так как они описываются одной и той же переменной.

Вопросы и задания

4.1. Постройте переключательные схемы, соответствующие следующим функциям:

а) ;

б) .