![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы:
Х | Х1 | Х2 | … | Xn |
P | Р1 | P2 | … | Pn |
Где
Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
М(Х)= .
Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то
Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).
Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(Х1Х2 …Хn)=М(Х1)*М(Х2)…М(Хn).
Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
.
Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения законом распределения:
А)
Х | -4 | ||
Р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Б)
Х | 0.21 | 0.54 | 0.61 |
Р | 0,1 | 0,5 | 0,4 |
Решение. А) Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности: М(Х)=-4*0,2+6*0,3+10*0,5=6.
Задание 1. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания Х и У: А) Z=X=2Y, М(Х)=5, М(У)=3; б) Z=3X+4Y, М(Х)=2, М(У)=6.
Ответ: 11
Задание 2. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х1=4 с вероятностью р1=0,5; х2=6 с вероятностью р2=0,3 и х3 с вероятностью р3. Найти х3 и р3, зная, что М(Х)=8.
Ответ: х3=21; р3=0,2.
Задание 3. Дан перечень возможных значений дискретной величины Х: х1=1, х2=2, х3=3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=2.3, М(Х2)=5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.
Ответ: р1=0,2; р2=0,3; р3=0,5.
Задание 4. Дан перечень возможных значений дискретной величины Х: х1 =-1, х2 =0, х3=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=0,1, М(Х2)=0,9. Найти вероятности р1, р2, р3, соответствующие возможным значениям х1, х2, х 3.
Ответ: р1=0,4; р2=0,1; р3=0,5.
Задание 5. Используя свойство математического ожидания, доказать, что а) М(Х-У)= М(Х)-М(У); б) математическое ожидание отклонения Х-М(Х) равно нулю.
Задание 6. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х-числа нестандартных деталей среди двух отобранных.
Ответ: 3/5
Задание 7. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х- -числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.
Ответ: M(x)=nP=20
Задание 8. Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.
Ответ: М(х)=(7/2)n
Задание 9. Случайная величина Х принимает значения 3 и 4 с равными вероятностями случайная величина У принимает значения 1 и 2 также с равными вероятностями. Величины Х и У распределены независимо друг от друга. Переменная Z определяется как Z=X/Y и имеет четыре возможных значения? Каждое с вероятностью 0,25:
Х У | ||
3,0 1,5 | 4,0 2,0 |
Покажите, что E(Z) не равно Е(Х)/Е(У).
Дисперсия дискретной случайной величины
Пусть X –случайная величина и M(X)-ее математическое ожидание.
Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием X - M(X).
Если у X закон распределения:
X | x ![]() | … | x ![]() |
P | p ![]() | … | p ![]() |
то у отклонения закон распределения:
X-M(X) | x ![]() | …. | x ![]() |
P | p ![]() | …. | p ![]() |
Теорема 1. Математическое ожидание отклонения равно нулю:
M[X-M(X)]=0
Иногда вместо термина «отклонение» используют термин «центрированная величина».
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M(X )-[M(X)]
.
Теорема 2. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: .
Пример 1
Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:
X | ||||
P | 0,3 | 0,5 | 0,2 | /через отклонение/ |
Решение: Найдем математическое ожидание:
M(X)=1*0,3+2*0,5+5*0,2=2,3.
Найдем все возможные значения квадрата отклонения:
[x
[x
[x
Напишем закон распределения квадрата отклонения:
[X-M(X)] ![]() | 1,69 | 0,09 | 7,29 |
P | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
По определению, d(X)=1,69*0,3+0,09*0,5+7,29*0,2=2,01.
Ответ: 2,01.
Дата публикования: 2015-04-06; Прочитано: 3428 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!