Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.
Все системы счисления делятся на два больших класса – непозиционные и позиционные.
В непозиционной системе счисления значения символов не зависят от положения в числе. Для образования таких систем используют, в основном, операции сложения и вычитания. Например, система с одним символом-палочкой встречалась у многих народов. Для изображения числа в этой системе нужно записать определенное множество палочек, равное данному числу. Эта система не эффективна, т.к. запись числа получается длинной. Другим примером непозиционной системы счисления является римская система.
Основными числами в римской системе счисления являются 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, которые обозначаются следующими знаками: I, V, X, L, C, D, M, а другие получаются путем сложения и вычитания базисных: если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой.
Так, например, число 146 в римской системе счисления имеет вид CXLVI (C – 100, XL – 40, VI – 6), здесь «сорок» получается посредством вычитания из «пятидесяти» числа «десять», «шесть» - посредством сложения «пяти» и «единицы».
Примеры:
XXVII = 10+10+5+1+1=27;
MMMD = 1000+1000+1000+500=3500;
MCMXCIV = 1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)=1994.
При таком представлении чисел правила сложения для небольших чисел очевидны и просты, однако если возникает необходимость выполнять операции сложения над большими числами или операции умножения и деления, то римская система счисления оказывается неудобной.
В позиционной системе счисления значение каждого символа изменяется от ее положения (или позиции) в числе. Привычной для всех является десятичная система счисления.
Количество различных символов, применяемых в позиционной системе счисления, называется ее основанием.
В вычислительной технике широко используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Обозначим через p основание системы счисления, тогда при p= 2 {0, 1}; p= 8 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; p= 16 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E}. Наряду с этими системами счисления используются и другие системы счисления, в которых используется свой набор символов. Так, например, в системе счисления по основанию 11 существуют символы от 0 до А, по основанию 13 – от 0 до С и т.д.
В позиционной системе с некоторым основанием р используются р различных между собой символов от 0 до р-1. Так последовательность символов
в р -ичной системе означает число:
где ai -цифры системы счисления, n и m – число целых и дробных разрядов числа.
Примеры:
37541,234 10=3´104 + 7´103 + 5´102 + 4´101 + 1´100 + 2´10-1 + 3´10-2 + 4´10-3
123,57 = 1´ 72 + 2´ 71 + 3´ 70 + 5´ 7-1
§1. Перевод чисел из системы счисления с основанием p в десятичную систему счисления
Пусть исходное число Аp содержит m разрядов. Для того чтобы целое число Аp перевести в десятичную систему счисления, достаточно цифру старшего разряда числа Аp умножить на основание системы счисления p, возведенное в степень соответствующую номеру позиции цифры данного разряда за минусом единицы (m-1). К полученному произведению прибавить цифру следующего (более младшего) разряда числа Аp, умноженную на основание p, возведенное в степень m-2. И так до тех пор, пока не будет прибавлена младшая цифра исходного числа Аp возведенное в степень 0.
Пример №1. Перевести число Х=9А07,С816 в десятичную систему счисления, пользуясь правилами десятичной арифметики.
Для перевода воспользуемся формулой (1.1) и запишем число 9А07,С816 в виде:
9А07,С816 = 9´ 163 + 10´ 162 + 0´161 + 7´ 160 + 12´16-1 + 8 ´ 16-2
Выполним все необходимые действия в десятичной системе и получим ответ:
Х = 36864+2560+0+7+0,75+0,03125
Ответ: 9А07,С816 = 39431,7812510
Пример №2. Перевести число Х=AF416 в десятичную систему счисления.
Для перевода запишем число AF416 в виде:
Х = А ´ 162+ F ´ 161+4 ´ 160;
Х = 10 ´ 162+15´161+4´160 =2560+240+4=2804
Ответ: AF416 = 280410
Пример №3. Перевести число Х=1101,1012 в десятичную систему счисления.
1101,1012 = 1´ 23 + 1´22 + 0´ 21 + 1´ 20 + 1´ 2-1 + 0´ 2-2 + 1´2-3=13,625
Ответ: 1101,1012 = 13,62510
Пример №4. Перевести число Х=3256 в десятичную систему счисления.
3256 = 3´ 62 + 2´61 + 5´ 60 =125
Ответ: 3256= 12510
Пример №5. Перевести число Х=2758 в десятичную систему счисления.
Х = 2 ´8 2+ 7 ´ 81+5 ´ 80 = 189
Ответ: 2758 = 18910
§2. Перевод десятичных чисел в систему счисления по основанию p
Дата публикования: 2015-06-12; Прочитано: 537 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!