Случайная погрешность

Наличие случайных погрешностей в результате при повторении изме-

рений в неизменных условиях эксперимента объясняется самой природой

этих погрешностей. Строго говоря, условия не остаются неизменными и их

колебания вызывают непостоянство результата, т.е. случайные погрешности

всегда будут присутствовать в результате измерений.

Характером проявления случайной погрешности определяется и способ

их учета. Учесть влияние случайных погрешностей на результат измерения

можно только путем анализа всей совокупности случайных погрешностей.

Случайная погрешность считается случайной величиной, и поэтому ее

оценивают методами математической статистики и теории вероятности. Наи-

более полной характеристикой случайной погрешности является закон рас-

пределения, представляющий собой зависимость вероятности появления

случайной погрешности от величины этой погрешности. Большинство ре-

зультатов измерений содержит случайную погрешность, подчиняющуюся

нормальному закону распределения:

xi x

W е, (2.5)

где W () – плотность вероятности случайной погрешности отдельного

измерения x x i i, это отклонение может быть вычислено для

каждого измерения. Следует помнить, что сумма отклонений ре-

зультата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их

квадратов минимальна. Эти свойства используются при обработке

результатов измерений для контроля правильности вычислений;

– параметр, характеризующий степень случайного разброса ре-

зультатов отдельных измерений относительно истинного значения

Х0, называют средним квадратическим отклонением случайной ве-

личины измерения;

Х - математическое ожидание результатов наблюдений.

Х, – являются точечными оценками случайной погрешности.

При случайных погрешностях результат каждого измерения Хi будет

отличаться от истинного значения Х0 измеряемой величины:

0 Х X i

(2.6)

Эту разность называют случайной погрешностью отдельного измере-

ния (результата наблюдения).

Истинное значение Х0 неизвестно, поэтому на практике его заменяют

наиболее достоверным значением измеряемой величины, определяемым на

основании экспериментальных данных.

Если проводить серию измерений исследуемой величины и определить

среднее арифметическое значение, то оно является наиболее достоверным

значением измеряемой величины. При вычислении среднего арифметическо-

го большого числа измерений погрешности отдельных измерений, имеющие

разный знак, взаимно компенсируются.

Среднее арифметическое значение принимают за результат измерения:

n

Х

n

Х Х Х Х

Х

n

i

i

1 2 3 n 1 K

(2.7)

где xi – численный результат отдельного измерения;

n – число измерений.

В теории случайных погрешностей вводится понятие о среднем квад-

ратическом отклонении результата отдельного измерения (средняя квадра-

тическая погрешность результата наблюдения)

()

n

x x

S

n

i

i

(2.8)

Характер кривых, описываемых (2.5), показан на рисунке 2.1а для трѐх

значений. Функция (2.5) графически изображается колоколообразной кри-

вой, симметричной относительно ординат, асимптотически приближающейся

к оси абсцисс. Максимум этой кривой получается в точке =0, а величина

этого максимума W () 1 2. Как видно из рисунка 2.1, чем меньше, тем

уже кривая и, следовательно, реже встречаются большие отклонения, т.е. тем

точнее выполняются измерения.

Вероятность появления погрешности в пределах между 1 и 2 опреде-

ляется площадью заштрихованного участка на рис. 4.1 б, т.е. определѐнным

интегралом от функции W ():

()

() 2

1 2

x

x

p e d (2.9)

Значения интеграла вычислены для различных пределов и сведены в

таблицы. Интеграл, вычисленный для пределов 1=– и 2=+, равен еди-

нице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от –

до + равна единице.

Из таблиц, приведенных в математических справочниках, следует что:

P(3 3) 0,9973

P() 0,683;

(2.10)

Таким образом, с вероятностью 0,683 случайные погрешности измере-

ния не выходят за пределы ±. С вероятностью 0,997 случайная погрешность

Рисунок 2.1

находится в пределах ±3, т.е. только 3 измерения из 1000 могут дать по-

грешность, превышающую ±3. Это соотношение называется законом трѐх

сигм.

Так как на практике число измерений не превышает нескольких десят-

ков, то появление погрешности равной ±3, маловероятно. Поэтому по-

грешность ±3 считается максимально возможной случайной погрешностью.

Погрешности более ±3 считаются промахами и при обработке результатов

измерений не учитываются.

В теории случайных погрешностей вводится также понятие о среднем

квадратическом отклонении среднего арифметического х (средняя квадра-

тическая погрешность результата измерений)

n n

x x

n

S

S

N

i

i

x x (2.11)

где x S - оценка средней квадратической погрешности х ряда из n

измерений.

Рассмотренные оценки результатов измерений Х,, выражаемые од-

ним числом, называют точечными оценками случайной погрешности.

Поскольку подобную оценку обычно принимают за действительное значе-

ние измеряемой величины, то возникает вопрос о точности и надежности

полученной оценки. Судят об этом по вероятности того, что результат

измерений (действительное значение) отличается от истинного не более

чем на.

Это можно записать в виде

P X A X (2.12)

Вероятность называется доверительной вероятностью или ко-

эффициентом надежности, а интервал значений от Х – до Х + —

доверительным интервалом. Обычно его выражают в долях средней

квадратической погрешности

a x t (n) (2.13)

где t α (n) - табулированный коэффициент распределения Стъюдента, ко-

торый зависит от доверительной вероятности и числа

измерений n, значения которого можно найти в математиче-

ских справочниках.

Доверительную вероятность и доверительный интервал называют