Метод прогонки используется для решения систем специального вида

содержащих n +1 уравнение с неизвестными z ₀, z ₁ ,..., z _n.

Построим матрицу системы:

Основная система называется 3^х-точечной разностной схемой, а первое и последнееуравнения – краевыми (граничными) условиями.

Предположим, что выполняются следующие условия:

Рассмотрим первые два уравнения системы:

(2.5)

(2.6)

Подставим (2.5) в (2.6):

Выразим из полученного уравнения z ₁:

Произведем замену:

; .

Откуда следует, что .

Добавим к полученному уравнению третье уравнение системы, тогда выполнив аналогичные преобразования, получим уравнение для z ₂. Повторяя этот процесс, получим систему:

(2.7)

где

; , i = 1, 2,..., n -1

Рассмотрим два последних уравнения получившейся системы.

.

Решим получившуюся систему уравнений по правилу Крамера:

;

; .

Откуда находим неизвестные:

; .

Остальные неизвестные получаются последовательной подстановкой найденных значений в уравнения системы (2.7), начиная с (п -2)-го уравнения.

Процесс примедения системы к виду (2.7) называется прямым ходом метода прогонки. Процесс нахождения по ним неизвестных - обратным ходом метода прогонки.

Общее число выполняемых арифметических операций -»14 п.