Гомоморфизмы и изоморфизмы групп

Определение. Пусть и – группы. Отображение называется гомоморфизмом, если для любых .

Определение. Изоморфизмом групп называется гомоморфизм, который является взаимно однозначным отображением. Если группы и изоморфны, то принято обозначать .

При гомоморфизме единица группы всегда переходит в единицу. Действительно, если и – единицы групп и соответственно, то . Умножив это равенство на , получим .

Далее, при гомоморфизме обратный к элементу элемент переходит в обратный к . Действительно, . Аналогично, Это и означает, что

Определение. Пусть G – группа с единицей e и элемент Наименьшее натуральное n, для которого называется порядком элемента g и обозначается o(g). Если такого n не существует, то считается, что

Если – гомоморфизм групп, то порядки элементов g и f(g) связаны, а именно, если то n делится на m. Действительно, , поэтому элемент f(g) имеет конечный порядок. Допустим, что n не делится на m. Тогда , где В этом случае что противоречит тому, что m – наименьшая степень такая, что

Задача 1.4.1. Определите порядки всех элементов в следующих группах а) б) в)

а) В группе единицей является элемент Групповая операция – это сложение по модулю 12. Порядок элемента x это наименьшее натуральное n такое, что

Например, Поэтому порядок элемента обзначаемый равен 2. Порядки элементов и равны 3. Элементы и имеют четвертый порядок, и – шестой. Наконец, элементы имеют двенадцатый порядок. Сам элемент как и единица любой группы, имеет первый порядок.

б), в) Решите самостоятельно.

Пример 1. Покажем, что Каждому преобразованию группы можно сопоставить перестановку – перестановку вершин треугольника ABC. Действительно, занумеруем вершины: A – 1, B – 2, C – 3. Тогда отображение при котором

является изоморфизмом.

Пример 2. Отображение при котором каждому целому ставится в соответствие его остаток при делении на n, является гомоморфизмом групп, но не изоморфизмом. Например, если то т.к.

Пример 3. Пусть – группа всех действительных чисел отличных от нуля с обычной операцией умножения. Отображение сопоставляет каждой матрице ее определитель. Тогда f – гомоморфизм групп, т.к. определитель произведения матриц равен произведению определителей. Гомоморфизм f не является изоморфизмом, т.к. разные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Пример 4. Пусть – группа всех действительных чисел с операцией сложения, а – группа всех положительных действительных чисел с операцией умножения. Гомоморфизм – определен формулой Это действительно гомоморфизм, т.к. Более того, этот гомоморфизм является изоморфизмом.

Определение. Пусть G – группа. Нетрудно убедиться, что множество всех изоморфизмов также образует группу, которая называется группой автоморфизмов группы G и обозначается Aut G.

Пример 5. Найдем группу Заметим, что в группе каждый элемент является суммой нескольких единиц: Поэтому, чтобы задать гомоморфизм достаточно задать Действительно, если то и т.д.. Чтобы гомоморфизм был взаимно однозначным отображением, может равняться либо либо Обозначим первый автоморфизм а второй – Тогда Поэтому

Ответы

1.4.1.б) Элементы и имеют третий порядок, элементы a,b,c – второй и e – первый; в) элементы имеют четвертый порядок, элемент (-1) – второй и 1 – первый.