![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Пусть и
– группы. Отображение
называется гомоморфизмом, если для любых
.
Определение. Изоморфизмом групп называется гомоморфизм, который является взаимно однозначным отображением. Если группы
и
изоморфны, то принято обозначать
.
При гомоморфизме единица группы всегда переходит в единицу. Действительно, если и
– единицы групп
и
соответственно, то
. Умножив это равенство на
, получим
.
Далее, при гомоморфизме обратный к элементу элемент переходит в обратный к
. Действительно,
. Аналогично,
Это и означает, что
Определение. Пусть G – группа с единицей e и элемент Наименьшее натуральное n, для которого
называется порядком элемента g и обозначается o(g). Если такого n не существует, то считается, что
Если – гомоморфизм групп, то порядки элементов g и f(g) связаны, а именно, если
то n делится на m. Действительно,
, поэтому элемент f(g) имеет конечный порядок. Допустим, что n не делится на m. Тогда
, где
В этом случае
что противоречит тому, что m – наименьшая степень такая, что
Задача 1.4.1. Определите порядки всех элементов в следующих группах а) б)
в)
а) В группе
единицей является элемент
Групповая операция – это сложение по модулю 12. Порядок элемента x это наименьшее натуральное n такое, что
Например, Поэтому порядок элемента
обзначаемый
равен 2. Порядки элементов
и
равны 3. Элементы
и
имеют четвертый порядок,
и
– шестой. Наконец, элементы
имеют двенадцатый порядок. Сам элемент
как и единица любой группы, имеет первый порядок.
б), в) Решите самостоятельно.
Пример 1. Покажем, что Каждому преобразованию группы
можно сопоставить перестановку – перестановку вершин треугольника ABC. Действительно, занумеруем вершины: A – 1, B – 2, C – 3. Тогда отображение
при котором
является изоморфизмом.
Пример 2. Отображение при котором каждому целому
ставится в соответствие его остаток
при делении на n, является гомоморфизмом групп, но не изоморфизмом. Например, если
то
т.к.
Пример 3. Пусть – группа всех действительных чисел отличных от нуля с обычной операцией умножения. Отображение
сопоставляет каждой матрице ее определитель. Тогда f – гомоморфизм групп, т.к. определитель произведения матриц равен произведению определителей. Гомоморфизм f не является изоморфизмом, т.к. разные матрицы могут иметь одинаковые определители.
Пример 4. Пусть – группа всех действительных чисел с операцией сложения, а
– группа всех положительных действительных чисел с операцией умножения. Гомоморфизм
– определен формулой
Это действительно гомоморфизм, т.к.
Более того, этот гомоморфизм является изоморфизмом.
Определение. Пусть G – группа. Нетрудно убедиться, что множество всех изоморфизмов также образует группу, которая называется группой автоморфизмов группы G и обозначается Aut G.
Пример 5. Найдем группу Заметим, что в группе
каждый элемент
является суммой нескольких единиц:
Поэтому, чтобы задать гомоморфизм
достаточно задать
Действительно, если
то
и т.д.. Чтобы гомоморфизм был взаимно однозначным отображением,
может равняться либо
либо
Обозначим первый автоморфизм
а второй –
Тогда
Поэтому
Ответы
1.4.1.б) Элементы и
имеют третий порядок, элементы a,b,c – второй и e – первый; в) элементы
имеют четвертый порядок, элемент (-1) – второй и 1 – первый.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 876 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!