Множества и отображения

Глава 1. Алгебраические структуры

Теория групп – это важный раздел алгебры, имеющий много приложений. Группы служат инструментом для изучения симметрии объекта и используются кроме самой математики в кристаллографии, квантовой механике, физике твердого тела и во многих других областях, в которых симметрия играет значительную роль. Понятие группы возникло в работах французского математика Эвариста Галуа (1811 – 1832), связавшего его с возможностью выразить корни алгебраического уравнения через его коэффициенты.

Мы начнем наше изложение с таких основополагающих понятий как множество, отображение, бинарное отношение, которые потребуются нам в дальнейшем. Хотя многие из обсуждаемых понятий обычно проходят в начале курса математического анализа, тем не менее для полноты изложения мы приведем здесь все необходимые формулировки.

Множества и отображения

Договоримся обозначать множества большими латинскими буквами A, B, …, Z. Элементы этих множеств будем, как правило, обозначать маленькими латинскими буквами a, b, c, …, z. Тот факт, что a есть элемент множества A, будем записывать с помощью следующего обозначения: aÎ A.

Определение. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству B, то будем говорить, что множество A вложено в множество B и обозначать:AÌB.