Электростатика. Диэлектрики

Примеры решения задач

23. По тонкому кольцу равномерно распределен заряд Q = 40 нКл с линейной плотностью = 50 нКл/м. Определить напряженность электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей на оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса.

Дано: Q = 40 нКл = Кл = 50 нКл/м = = Кл/м h =

Напряженность поля, создаваемого этим зарядом

где – электрическая постоянная; – единичный вектор, направленный вдоль r. Разложим вектор на две составляющие: вдоль оси Z, и , перпендикулярную оси z,т.е.

.

Напряжённость электрического поля в точке А найдём интегрированием

,

где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dQ и d , расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы и , в точке А равны по модулю и противоположны по направлению = – , т.е компенсируют друг друга.

Составляющие для всех элементов кольца сонаправлены с осью z, т.е. = .

Тогда

Так как , ; , то

.

Таким образом .

Поскольку , то радиус кольца .

Тогда .

Значение напряженности на расстоянии z = h = R /2.

= 7000 В/м = 7,9 кВ/м

Ответ: Е = 7,9 кВ/м.

24. Электрическое поле создается бесконечным цилиндром радиусом R, равномерно заряженным с линейной плотность τ. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии и от поверхности этого цилиндра. Решение

Дано R τ

φ1 – φ2 ?

Интегрирал по гауссовой поверности, верхности раскладываем на три интеграла: по верхнему и нижнему основаниям, по боковой поверхности. Интеграл по верхнему основанию , так как угол между вектором элементарной площадки и вектором равен π /2 и cos π /2 = 0. Аналогично для нижнего основания. Остается интеграл по боковой поверхности , здесь угол = 0, cos 0 = 1, значение напряженности Е на одном и том же расстоянии r одинаково, Е выносим за знак интеграла . В правой части теоремы Гаусса заряд, охватываемый гауссовой поверхностью . Таким образом, получаем

Для нахождения разности потенциалов воспользуемся связью напяженности и потенциала

.

Для случая радиальной симметрии, реализующейся у нас,

.

Интегрируя это выражение, получим

или

.

Ответ: .

25. Плоский конденсатор, между обкладками которого помещена стеклянная пластинка ( = 6) толщиной l = 2,00 мм, заряжен до напряжения U = 200 В (рис. 1). Пренебрегая величиной заряда между пластинкой и обкладками, найти а) поверхностную плотность свободных зарядов на обкладках конденсатора, а также б) поверхностную плотность связанных зарядов (зарядов поляризации) на стекле. Изобразить силовые линии электрического поля в стекле и воздушном зазоре между стеклом и обкладками.

Решение: Величину σ выразим через напряженность поля Е внутри конденсатора. Поскольку введение диэлектрика между его обкладками уменьшает эту напряженность поля в раз, используем формулу поля напряженности для плоского конденсатора = , с учетом наличиия диэлектрика   Дано: = 6,0 = 2,00 мм U = 200 В

σ –? σ´ –? силовые линии Е

(1)

Отсюда, учитывая соотношение Е = , справедливое для однородного поля конденсатора, найдем:

(2)

Чтобы определить величину , воспользуемся формулой = (поверхностная плотность связанных зарядов равна проекции вектора поляризованности на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика). Так как вектор параллелен вектору напряженности поля в диэлектрике, направленному по нормали к поверхности стеклянной пластинки, то = . Учитывая соотношение = æ , где æ – диэлектрическая проницаемость среды и соотношение æ, получим:

æ (3)

Подставляя в формулы (2) и (3) величины в единицах СИ: U = 200 B, = 2,00 м, = 8.85 Ф/м, найдем:

= =

Чтобы изобразить силовые линии электрического поля в стекле и воздуш ном зазоре, надо помнить, что густота силовых линий пропорциональна напряженности поля, а диэлектрическая проницаемость среды показывает во сколько раз поле внутри диэлектрика слабее поля внутри зазора, следовательно густота силовых линий внутри стеклянной пластинки в шесть раз меньше, чем в зазоре (рис. 2).

Ответ: = =

26. Определить дивергенцию следующих векторных полей:

a) , где f(x) – некоторая функция декартовой координаты х;

b) , где – радиус-вектор точки, в которой определяется дивергенция.

Дано: а) ; b)	Решение По определению . a) ; b) Выразим радиус-вектор через компоненты:
div -?

,

.

Ответ:а) ; b) div = 3.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.1. Шар радиусом R заряжен однородно с объёмной плотностью r. Найти напряженность поля для точек внутри и вне шара.

(; )

3.2. Бесконечно тонкая прямая нить заряжена однородно с плотностью l. Найти напряженность электрического поля Е и потенциал j как функции расстояния r от нити. Потенциал на расстоянии r ₀ положить равным нулю.

(E = (1/2pe₀) l/ r; j = -(l/2pe₀) ln (r / r ₀))

3.3. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью t = 1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня на расстоянии d = 12 см от его конца находится точечный заряд Q = 0,20 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

(F = 2,2 мН)

3.4. По тонкому проволочному кольцу радиусом r = 60 мм равномерно распределен заряд q = 20 нКл.

а) приняв ось кольца за ось х, найти потенциал j и напряженность поля на оси кольца как функцию х (начало отсчета х поместить в центр кольца);

б) исследовать случаи х = 0 и ½ х ½>> r.

(E = (1/4pe₀)× ; j = (1/4pe₀) )

3.5. Чему равен поток вектора через поверхность сферы, внутри объема которой находится:

а) заряд е;

б) заряд - е;

в) диполь с моментом ?

Объясните результат с помощью картины силовых линий электрического поля.

3.6. Металлический шар радиусом R помещен в однородное электрическое поле. Изобразите качественную картину силовых и эквипотенциальных линий электрического поля.

3.7. Два точечных заряда +е и - е расположены в точках с координатами (а /2,0,0), (-а /2,0,0). Построить качественно график зависимости проекции напряженности поля Е_х (х) для точек, лежащих на оси х (у = 0).

3.8. Найти зависимость плотности зарядов от декартовых координат ρ(x, y, z), при которой напряженность поля описывалась бы функцией (В/м).

(ρ(x, y, z) = Кл/м³)

3.9. Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид: j = a (x ²+ y ²)- bz ², где а и b – положительные константы. Найти напряженность поля Е и ее модуль ½ Е ½. Построить графики зависимости E_x = f (x), E_z = f (z).

(E = ; )

3.10. Плоский воздушный конденсатор подключили к батарее, а затем отключили от неё. После этого уменьшим расстояние между пластинами конденсатора в 2 раза. Как изменится:

а) энергия, запасенная конденсатором;

б) заряд на обкладках конденсатора;

в) плотность энергии электрического поля конденсатора?

3.11. Диэлектрическая пластина шириной 2 а с проницаемостью e = 2 помещена в однородное электрическое поле напряженности Е, силовые линии которого перпендикулярны пластине.

а) изобразите на рисунке линии полей Е и D электрического поля;

б) постройте качественно графики зависимостей Е_х, D_х от х (ось х перпендикулярна пластине, вектор Е направлен вдоль оси х, точка х = 0 находится в середине пластины).

3.12. Диэлектрическая пластинка с проницаемостью e = 2 помещена в однородное электрическое поле с напряженностью Е. Линии поля Е образуют некоторый угол j с поверхностью пластины. Изобразите качественно линии полей Е и D в вакууме и в пластине. Постройте качественно графики зависимостей Е_x = f (x) и D_x = f (x).

3.13. Внутри плоской однородной диэлектрической пластины с e = 3 вектор напряженности однородного электрического поля составляет угол j с поверхностью пластины. Считая, что с одной стороны пластины вакуум, а с другой стороны диэлектрик с e = 2, изобразить качественно линии Е и D электрического поля в трех указанных средах. Построить качественно зависимости Е_x = f (x) и D_x = f (x). Ось ОХ перпендикулярна поверхностям пластины, а ее толщина d.

3.14. Плоский воздушный конденсатор опустили в воду так, что поверхность воды параллельна плоскостям пластин, а ее уровень расположен на расстоянии h от нижней пластины. Найти зависимость электроемкости конденсатора от величины h, если площадь пластины S, а расстояние между ними d.

(С = )

3.15. Электрическое поле создается равномерно заряженным шаром радиусом R с объемной плотностью заряда r. Определить зависимость вектора электрического смещения электрического поля от r. Построить качественно график D = f (r).

(D = (1/3)r r; D = (r/3)×(R ³/ r ²))