Arccos (xB / l3)

Для решения задачи о скоростях продифференцируем исходную систему по времени. Будем обозначать производные по времени штрихами:

(x_A)' = l₂(a₁₁)' + (x_B)',

(y_A)' = l₂(a₁₁)' + (y_B)',

0 = x_B(x_B)' + y_B(y_B)',

0 = a₁₁(a₁₁)' + a₂₁(a₂₁)'.

Дифференцируя эту систему еще раз по времени, получим линейную систему относительно вторых производных тех же переменных. Решение линейных систем производится одним из известных методов.

Скорости и ускорения точек и звеньев механизмов находим по формулам, записанным для краткости в матричной форме:

vy= A-1vx;

ay= A-1ax,

(x_A)^′ (a₁₁)' (x_A)'' (a₁₁)'

(y_A)' (a₂₁)' (y_A)'' (a₂₁)'

vx= 0, vy= (x_B)', ax= – (x_B2 + y_B2), ay= (x_B)''.

0 (y_B)' – (a₁₁2 + a₂₁2) (y_B)''

Здесь A-1 – обратная матрица.

1 – a₂₁x_B – a₂₁x_B a₂₁ l₂y_В

A-1=_______________ a₁₁x_B a₁₁y_B – a₁₁ – l₂x_B

l₂(a₁₁y_B– a₂₁x_B) l₂a₁₁y_B l₂a₂₁y_B – l₂a₂₁ – l₂2у_В

– l₂a₁₁x_B – l₂a₂₁x_B l₂a₁₁ l₂2x_B

Примечание. При использовании формул в матричной форме нужно знать правило умножения матрицы на вектор. Оно задаётся схемой

a₁₁ a₁₂ b₁₁ = a₁₁b₁₁+ a₁₂b₁₁

a₂₁ a₂₂ b₂₁ a₂₁b₁₁+ a₂₂b₂₁

Угловую скорость и угловое ускорение шатуна AB находим по формулам:

ω₂= –(a₁₁)' / a₂₁,

ε₂= –((a₂₁)'' + a₁₁(ω₁)'2) / a₂₁ .

Угловую скорость и угловое ускорение коромысла CB находим по формулам:

ω₃= – (x_B)' / l₃sin φ₃,

ε₃= – ((x_B)'' + l₃sin φ₃ ω₃2) / l₃sin φ₃.

Аналогичным способом получены формулы для кинематических характеристик основных рычажных механизмов, которые приводятся ниже.

Рис.2.16. Звено, совершающее вращательное движение

Для звена, совершающего вращательное движение (кривошипа, коромысла):

x_A= l₁a₁₁+ x₀,

y_A= l₁a₂₁+ y₀,

(x_A)' = – l₁a₁₁ω₁,

(y_A)' = l₁a₂₁ω₁,

(x_A)'' = – l₁a₁₁ω₁2– l₁a₂₁ε₁,

(y_A)'' = – l₁a₂₁ω₁2+ l₁a_11ε1.

Рис. 2.17. Кривошипно-ползунный механизм

Для кривошипно-ползунного механизма:

a₂₁= y_A/ l₂,

x_A= x_B+ l₂a₁₁,

1 = a₁₁2 + a₂₁2,

Где

vy= W-1vx, ay = W-1ax,

vx= [(x_A)', (y_A)', 0]T,

vy= [(a₁₁)', (a₂₁)', (x_B)']T,

ax = [(x_A)'', (y_A)'', –((a₁₁)'2+ (a₂₁)'2)]T,

ay = [(a₁₁)'', (a₂₁)'', x_B]T,

.

Рис.2.18. Кулисный механизм с качающейся кулисой

Для кулисного механизма:

h₃= √ x_A2+ y_A2, x_A= h₃a₁₁, y_A= h₃a₂₁, 1 = a₁₁2 + a₂₁2,

vy= W-1vx, ay = W-1ax,

Где

vx= [(x_A)', (y_A)', 0]T, vy= [(h₃)', (a₁₁)', (a₂₁)']T,

ax = [(x_A)'' –2(h3)'a₁₁, (y_A)'' – 2(h₃)' (a₂₁)', – ((a₁₁)'2+ (a₂₁)'2)]T,

ay = [(h3)'', (a₁₁)'', (a₂₁)'']T,

1 –h₃a₁₁ –h₃a₂₁ h₃2

W-1= – ____ –a₂₁ a₁₁a₂₁ –h₃a₁₁.

h₃ a₁₁a₂₁ –a₁₁2 –h₃a₂₁

Рис. 2.19.Кулисный механизм с ведущим камнем

Для кулисного механизма с ведущим камнем:

a₁₁= (h₃2 – x₀2 – l₁2) / (2x₀l₁),

(a₁₁)' = h₃(h₃)' / (x₀l₁),

(a₁₁)'' = ((h₃)′ 2 + h₃(h₃)'') / (x₀l₁),

b₂₁= (x₀+ l₁a11) / h₃,

(b₂₁)' = (l₁(a₁₁)' – (h₃)' b₂₁) / h₃ ,

(b₂₁)'' = (l₁(a₁₁)'' – (h3)'' b₂₁ – 2(h₃)' b₂₁) / h₃.

2.10. Обобщенные координаты, уравнения связей, математическая модель

пространственной кинематической цепи

Твердое тело – это система материальных точек, расстояние между которыми не изменяется при его движении.

Определим, сколько независимых координат необходимо для задания положения тела в выбранном пространстве. Каждая точка в отдельности имеет три независимые координаты. На положение точек, составляющих твердое тело, налагаются условия постоянства расстояния между ними вида r_ij = c_ij (где r_ij- расстояние между i-ой и j-ой точками, c_ijj- постоянная), из-за чего число независимых координат уменьшается. Однако для каждой точки не обязательно определять расстояние от нее до трех произвольно выбранных точек Таким образом, если задано положение трех точек твердого тела, положение остальных точек определяется с помощью приведенного выше уравнения. Три точки твердого тела также не вполне независимы. Их координаты связаны уравнениями жесткой связи r₁₂=c₁₂, r₂₃=c₂₃, r₁₃ = c₁₃, которые уменьшают число степеней свободы с девяти до шести. Итак, твердое тело обладает шестью степенями свободы: для задания его положения в пространстве требуется шесть независимых координат.

Положение твердого тела в пространстве не обязательно задавать декартовыми координатами точек. Положение произвольной точки М твердого тела в пространстве Е определяется радиус-вектором R: R = R_A + τρ, (2.12)

где R_A – радиус-вектор начала связанной системы тела; τ – матрица направляющих косинусов связанной системы; ρ – радиус-вектор точки М в связанной системе.

Поскольку точка М – произвольная, уравнением преобразования координат (2.12) определяется положение любой точки, а значит, самого тела. В этом уравнении двенадцать переменных параметров: три декартовых координаты начала – точки А и девять направляющих косинусов τ_ij. Однако направляющие косинусы связаны шестью условиями ортогональности:

τ₁₁ ² + τ₂₁² + τ₃₁² = 1;

τ₁₂ ² + τ₂₂² + τ₃₂² = 1;

τ₁₃ ² + τ₂₃² + τ₃₃² = 1; (2.13)

τ₁₁τ₁₂ + τ₂₁τ₂₂ + τ₃₁τ₃₂ = 0;

τ₁₂τ₁₃ + τ₂₂τ₂₃ + τ₃₂τ₃₃ = 0;

τ₁₁τ₁₃ + τ₂₁τ₂₃ + τ₃₁τ₃₃ = 0,

уменьшающими число свободно задаваемых параметров тела до шести. Можно выразить матрицу τ через эйлеровы углы. Тогда независимыми координатами, определяющими положение тела, будут служить три декартовы координаты и три эйлеровых угла. Такую совокупность координат полюсов и эйлеровых углов будем называть эйлеровыми координатами тела.

Любая совокупность параметров q_s, достаточная для определения положения системы в пространстве, носит название обобщенных координат системы. Между обобщенными и декартовыми координатами точек должны существовать явные соотношения вида: x_i = x_i(q₁, q₂, …q_n).

Такими являются, в частности, соотношения (2.12).

Кинематическая цепь – это агрегат, образованный из подвижно соединенных между собой твердых тел. Из одной и той же системы тел можно получить различные агрегаты, отличающиеся друг от друга структурой (под структурой понимается способ соединения отдельных тел в агрегате). Тела соединяются с помощью устройств, называемых кинематическими парами. До объединения в связанную систему тела образовывали систему свободных тел с общим числом степеней свободы 6N, где N – число тел. При соединении тел посредством кинематических пар накладываются определенные ограничения на координаты точек этих тел, уменьшающие общее число степеней свободы системы. Соотношения, возникшие в результате соединения тел с помощью кинематических пар и связывающие обобщенные координаты, называются обобщенными уравнениями связей или просто уравнениями связей. Здесь будут рассматриваться только конечные (голономные) связи, которые накладывают ограничения на координаты точек. Они представляются в виде уравнений: F_K (q₁, q₂, …q_n) = 0. (2.14)

Это справедливо для любой материальной системы, в том числе и для отдельного твердого тела. Так, например, в случае задания положения твердого тела с помощью направляющих косинусов, уравнениями вида (2.14) являются шесть условий ортогональности (2.13), выражающих в конечном счете неизменность расстояний между точками в твердом теле.

Обычно практический интерес представляют только пары 3—5–го классов: шаровой шарнир, шаровой шарнир с пальцем, вращательная пара (циллиндрический шарнир), поступательная пара, винтовая пара.

Очевидно, что для кинематической цепи число уравнений должно быть меньше числа переменных n (обобщенных координат), в противном случае система становится “затвердевшей”. Система уравнений (2.14) определяет m переменных как неявные функции от остальных n-m переменных. Эти ν = n-m переменных служат независимыми обобщенными координатами кинематической цепи. Задавая их в области существования функции F_K, получим систему m уравнений с m неизвестными. Такая замкнутая система имеет определенное решение и представляет математическую модель механизма как системы, обладающей определенностью движения. В случае замкнутой цепи все уравнения (2.14) взаимосвязаны. Для открытой цепи система распадается на m независимых уравнений, что упрощает задачу.

Контрольные вопросы

1. Какие задачи решает кинематика механизмов?

2. Что представляет собой план положений, план скоростей и план ускорений механизма?:

3. В чем преимущества и недостатки метода кинематических диаграмм (метода графического дифференцирования).

4. Приведите пример механизма, в котором при построениии плана ускорений учитывается ускорение Кориолиса. Приведите пример механизма, в котором при построении плана ускорений не учитывается ускорение Кориолиса. В чем здесь дело?

5. На каких уравнениях базируется аналитческий метод исследования кинематики механизмов, называемый методом преобразования координат?

6. Как формулируется прямая задача кинематики для механизма с открытой кинематической цепью?

7. Как формулируется обратная задача кинематики механизма?

8. Почему задача о положениях шарнирного четырехзвенника имеет два решения? Какими уравнениями это подтверждается?

Почему задача о скороcтях и ускорениях имеет одно решение? Из каких уравнений это видно?

3. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАШИН И МЕХАНИЗМОВ

3.1. Задачи динамики машин

Динамика изучает движение с учетом действия сил инерции и инерционных свойств тел. В этом ее отличие от кинематики, которая занимается изучением собственных свойств движения и имеет только вспомогательное значение при решении динамических задач.

В динамике машин, как и в общей динамике, следует различать две задачи, прямую и обратную. Прямая задача состоит в том, что по заданным силам находится закон движения звеньев. Обратная задача состоит в том, что по заданному закону движения находятся силы, вызвавшие это движение. В математическом отношении прямая задача сводится к интегрированию дифференциальных уравнений, обратная задача – к дифференцированию или к простому решению алгебраических уравнений.

К прямым задачам относятся рассматриваемые здесь задачи об истинном движении механизма, о регулировании хода машины, задача о маховике, к обратным задачам – силовое исследование механизма, уравновешивание роторов и механизмов. Динамические задачи можно решить лишь в том случае, если известны силы или известны движения. Поэтому в самом начале следует четко определить тип решаемой задачи.

3.2. Классификация сил в механизмах

При работе на механизм действуют силы различной природы, поэтому целесообразно произвести их классификацию.