Возрастающим значениям интегральной кривой соответствуют положительные значения дифференциальной кривой, убывающим – отрицательные значения

Непосредственное применение указанного способа построения графиков не практикуется из-за сложности точного построения касательных. Обычно используется его модификация, носящая название метод хорд: касательные, проведенные в точках, лежащих на серединах выбранных частков, заменяются хордами этих участков.

Выбрав полюсное расстояние h и отложив его влево от оси ординат графика дифференциальной кривой, получим полюс p (рис. 2.13,б). Из этого полюса строятся лучи параллельные хордам участков интегральной кривой. Отрезки, отсекаемые этими лучами на оси ординат, определяют значения производных для середин соответствующих участков, так как они пропорциональны тангенсам углов наклона касательных на серединах участков. Если масштабные коэффициенты по осям графика интегральной кривой известны, можно определить масштабные коэффициенты по осям графика дифференциальной кривой. Рассмотрим, например, графики S(t) и V(t).

Очевидно, что

V = y_v k_v= ∆S k_s /∆t k_t.

Из подобия треугольников следует:

∆S/∆t = y_v / h,

откуда после подстановки в предыдущее выражение следует:

k_v = k_S / h_v k_t.

Аналогичным образом выводится формула:

k_a = k_v/h_a k_t.

2.8. Аналитический метод исследования открытой

кинематической цепи

Известно довольно много различных методов аналитического исследования кинематики рычажных механизмов. Рассмотрим один из них – метод преобразования координат.

На рис.2.14 представлена плоская открытая кинематическая цепь, составленная их трех звеньев, соединенных между собой посредством вращательных кинематических пар. Конфигурация цепи определяется обобщенными координатами φ₁, φ₂, φ₃. Пусть заданы размеры звеньев (их длины) L₁, L₂ и положение т. М на третьем звене. Требуется определить положение т. М в неподвижной системе координат XY, связанной со стойкой.

Рис. 2.14. Открытая кинематическая цепь: системы координат звеньев- а, преобразование координат на плоскости – б

Введем подвижные системы координат ξ¹η¹, ξ²η², ξ³η³, связав их со звеньями 1, 2 и 3, как указано на рис.2.14. Воспользуемся уравнениями преобразования координат, которые вытекают из простых геометрических построений на рис.2.14,б:

x_M = cosφ ξ_M – sinφ η_M + x_O;

y_M = sinφ ξ_M + cosφ η_M + y_O.

Применив уравнения преобразования координат последовательно к координатным системам ξ¹η¹, ξ²η², ξ³η³, XY, получим систему линейных уравнений. Решение этой простой системы не вызывает затруднений, тем более что здесь применяется рекуррентный метод расчета: результаты, полученные при расчете первой пары уравнений, подставляются в правую часть второй пары уравнений и т.д. При большом числе звеньев и при необходимости расчета большого числа положений механизма целесообразно расчет производить на ЭВМ.

2.9. Кинематическое исследование рычажных механизмов с замкнутыми цепями

Большинство рычажных механизмов образовано из замкнутых кинематических цепей. Аналитическое исследование таких механизмов представляет задачу, родственную рассмотренной выше. В обоих случаях используются уравнения преобразования координат. Из замкнутой кинематической цепи путем размыкания одной кинематической пары образуются две открытые кинематические цепи. Для каждой из них составляются уравнения преобразования координат. К ним добавляются уравнения, вытекающие из уравнений связей, налагаемых кинематическими парами. Таким образом, получается система уравнений, как правило нелинейная, из которой отыскиваются координаты, определяющие положение (конфигурацию) кинематической цепи.

Рис. 2.15. Четырехзвенный рычажный механизм и связанные системы координат

Решаемая таким образом задача является обратной по отношению той, которая была решена для открытой цепи: по известному положению некоторой точки или входного звена находятся относительные положения остальных звеньев. Напомним, что прямая задача состояла в определении положения точки, принадлежащей n-ому звену по заданному относительному положению остальных звеньев.

Рассмотрим решение обратной задачина примере плоского шарнирного четырехзвенника (рис.2.15). Введем неподвижную систему координат XY, связав ее со стойкой, и подвижные системы координат ξ¹η¹, ξ²η², ξ³η³, связав их со звеньями, как указано на рис.2.15. Условно разомкнем кинематическую цепь в точке А. При заданном значении обобщенной координаты φ₃ координаты точки А находятся из уравнений:

x_A = L₃cosφ₃ + x_O;

y_A = L₃sinφ₃ + y_O.

Для открытой кинематической цепи ABC можно записать следующие уравнения преобразования координат:

x_A = ξ_A²cosφ₂ + x_B;

y_A = ξ_A²sinφ₂ + y_B;

x_B = ξ_B¹ cosφ₁;

y_B = ξ_B¹sinφ₁.

Система состоит из 4-х уравнений с 6 неизвестными. Добавим к ней еще два очевидных уравнения:

1 = cos²φ₂ + sin²φ₂;

1 = cos²φ₁ + sin²φ₁.

Полученную систему можно привести к упрощенному виду:

x_A = L₂ a₁₁ + x_B; (2.11)

y_A = L₂ a₂₁ + y_B,

L₁ = x_B² + y_B²,

1 = a₁₁² + a₂₁²,

где a₁₁ = cosφ₁; a₂₁ = sinφ₁.

Таким образом, имеем нелинейную систему, состоящую из 4-х алгебраических уравнений относительно a₁₁, a₂₁, x_B, y_{B .} Одним из возможных путей решения является последовательное исключение из системы неизвестных. В результате будет получено одно уравнение с одним неизвестным:

(x_A² + y_A²) a₁₁² – 2q x_A a₁₁ + q² - y_A² = 0,

где q = (x_A²+y_A²+l₂²+l₃²) / 2l₂.

Имеем квадратное уравнение относительно a₁₁, два решения которого записываются в радикалах известным образом.

qx_A + √q2 x_A2– (x_A2+ y_A2) (q2 – y_A2)

a₁₁= ___________________________________,

x_A2 + y_A2

Определив a₁₁, находим φ₂, x_B, y_B, φ₃:

φ₂ = arccos a₁₁,

x_B = x_A – l₂ a₁₁,

y_B = y_A– l₂ a₂₁,