Моделирование систем массового обслуживания

Достаточно часто при анализе экономических систем приходится решать т. н. задачи массового обслуживания, возникающие в следующей ситуации. Пусть анализируется система технического обслуживания автомобилей, состоящая из некоторого количества станций различной мощности. На каждой из станций (элементе системы) могут возникать, по крайней мере, две типичных ситуации:

· число заявок слишком велико для данной мощности станции, возникают очереди и за задержки в обслуживании приходится платить;

· на станцию поступает слишком мало заявок и теперь уже приходится учитывать потери, вызванные простоем станции.

Ясно, что цель системного анализа в данном случае заключается в определении некоторого соотношения между потерями доходов по причине очередей и потерями по причине простоя станций. Такого соотношения, при котором математическое ожидание суммарных потерь окажется минимальным.

Специальный раздел теории систем — теория массового обслуживания, позволяет

· использовать методику определения средней длины очереди и среднего времени ожидания заказа в тех случаях, когда скорость поступления заказов и время их выполнения заданы;

· найти оптимальное соотношение между издержками по причине ожидания в очереди и издержками простоя станций обслуживания;

· установить оптимальные стратегии обслуживания.

Обратим внимание на главную особенность такого подхода к задаче системного анализа — явную зависимость результатов анализа и получаемых рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности заказов (а значит — времени их исполнения).

Но это уже связи нашей системы с внешним миром и без учета этого факта нам не обойтись. Потребуется провести исследования потоков заявок по их численности и сложности, найти статистические показатели этих величин, выдвинуть и оценить достоверность гипотез о законах их распределения. Лишь после этого можно пытаться анализировать — а как будет вести себя система при таких внешних воздействиях, как будут меняться ее показатели (значение суммарных издержек) при разных управляющих воздействиях или стратегиях управления.

Очень редко при этом используется сама система, производится натуральный эксперимент над ней. Чаще всего такой эксперимент связан с риском потерь заказчиков или неоправданными затратами на создание дополнительных станций обслуживания.

Поэтому при моделировании систем используется метод статистических испытаний или метод Монте-Карло - один из методов статистического моделирования,основанный на кибернетической идее "черного ящика".

Применение метода Монте-Карло проиллюстрируем на приведенном выше примере. Предположим, надо определить, как часто и как долго придется ждать клиентам в очереди на станциях при заданной их пропускной способности (допустим, для того, чтобы принять решение, следует ли расширять сеть стаций). Подход клиентов носит случайный характер, распределение времени подхода может быть установлено из имеющейся информации. Время обслуживания тоже носит случайный характер и его распределение тоже может быть выявлено. Таким образом, имеются два стохастических процесса, взаимодействие которых и создает очередь. Теперь, если наугад перебирать все возможности (например, число клиентов, приходящих за час), сохраняя те же характеристики распределения, можно искусственно воссоздать картину этого процесса. Повторяя такую картину многократно, каждый раз меняя условия (число подходящих клиентов), можно изучать получаемые статистические данные так, как если бы они были получены при наблюдении над реальным потоком клиентов.

Точно так же можно воссоздать искусственную картину работы станций: здесь распределение будет повторять распределение времени обслуживания отдельного клиента. Получаются опять два стохастических процесса. Их взаимодействие даст "очередь" с примерно такими же характеристиками (например, средней длиной очереди или средним временем ожидания), какими обладает реальная очередь. Таким образом, смысл метода Монте-Карло состоит в том, что исследуемый процесс моделируется путем многократных повторений его случайных реализаций. Единичные реализации называются статистическими испытаниями — отсюда второе название метода.