Вычисление композиций точек удвоения [256]G; [64]G; [16]G; [8]G; [2]G; G заданной эллиптической кривой

Для вычисления параметра «N» (N = [К]G = [347]G = G + [2]G + [8]G + [16]G + [64]G + [256]G) при формировании ЭЦП абонент «А» выполняет ряд последовательных операций с полученным множеством точек удвоения генераторной точки G.

Вычисление композиции точек [256]G и [64]G; [256]G + [64]G = [320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀). ( [256]G = (X₂₅₆; Y₂₅₆) = (X₂₅₆ =3; Y₂₅₆ =39); [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (X₆₄ =94; Y₆₄ =10) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [256]G и [64]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = 156 * 75^-1 mod 293 =

= 156 * 75²⁹¹ mod 293 = 156 * 168 mod 293 = 26208 mod 293 = 131 mod 293 → 131, т.е. к = 131.

- Вычисляются координаты точки [320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀):

X₃₂₀ = (к² – X₆₄ – X₂₅₆) mod P = (131² – 195 – 39) mod 293 = (17161 – 195 – 39) mod 293 = 16927 mod 293 = 226 mod 293 → 226.

Y₃₂₀ = (к * (X₂₅₆ – X₃₂₀) – Y₂₅₆) mod P = (131* (3 – 226) – 39) =

- 29252 mod 293 = -245 mod 293 = (293 – 245) mod 293 = 48 mod 293 → 48.

Следовательно, [320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀) = (226; 48), координаты точки [320]G определены как X₃₂₀ = 226; Y₃₂₀ = 48.

Вычисление композиции точек [320]G и [16]G; [320]G + [16]G = [336]G = (X₃₃₆; Y₃₃₆). ( [320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀) = (X₃₂₀ =226; Y₃₂₀ =48); [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (X₁₆ =28; Y₁₆ =237) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [320]G и [16]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = - 189 * 198^-1 mod 293 =

= -189 * 198²⁹¹ mod 293 = -189 * 37 mod 293 = - 6993 mod 293 =

-254 mod 293 = (293-254) mod 293 = 39 mod 293 → 39, т.е. к = 39.

- Вычисляются координаты точки [336]G = (X₃₃₆; Y₃₃₆):

X₃₃₆ = (к² – X₁₆ – X₃₂₀) mod P = (39² – 28 – 228) mod 293 = 1265 mod 293 =

93 mod 293 → 93.

Y₃₃₆ = (к * (X₃₂₀ – X₃₃₆) – Y₃₂₀) mod P = (39 * (226 – 93) – 48) mod 293 =

5139 mod 293 = 158 mod 293 → 158.

Следовательно, [336]G = (X₃₃₆; Y₃₃₆) = (93; 158), координаты точки [336]G определены как X₃₃₆ = 93; Y₃₃₆ = 158.

Вычисление композиции точек [336]G и [8]G;

[336]G + [8]G = [344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄). ( [336]G = (X₃₃₆; Y₃₆) = (X₃₃₆ =93; Y₃₃₆ =158); [8]G = (X₈; Y₈) = (X₈ =84; Y₈ =254) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [336]G и [8]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 = - 96 * 9^-1 mod 293 =

= -96 * 9²⁹¹ mod 293 = -96 * 228 mod 293 = - 21888 mod 293 =

= -206 mod 293 = (293-206) mod 293 = 87 mod 293 → 87, т.е. к = 87.

- Вычисляются координаты точки [344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄):

X₃₄₄ = (к² – X₈ – X₃₃₆) mod P = (87² – 84 – 93) mod 293 = 7392 mod 293 =

= 67 mod 293 → 67.

Y₃₄₄ = (к * (X₃₃₆ – X₃₄₄) – Y₃₃₆) mod P = (87 * (93 – 67) – 158) mod 293 =

= 2104 mod 293 = 53 mod 293 → 53.

Следовательно, [344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄) = (67; 53), координаты точки [344]G определены как X₃₄₄ = 67; Y₃₄₄ = 53.

Вычисление композиции точек [344]G и [2]G;

[344]G + [2]G = [346]G = (X₃₄₆; Y₃₄₆).

( [344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄) = (X₃₄₄ =67; Y₃₄₄ =53); [2]G = (X₂; Y₂) = (X₂ =292;

Y₂ =276).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [344]G и [2]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 223 * 225^-1 mod 293 = 223 * 225²⁹¹ mod 293 = 223 * 56 mod 293 =

= 12488 mod 293 = 182 mod 293 → 182, т.е. к = 182.

- Вычисляются координаты точки [346]G = (X₃₄₆; Y₃₄₆):

X₃₄₆ = (к² – X₂ – X₃₄₄) mod P = (182² – 292 – 67) mod 293 = 32765 mod 293 =

= 242 mod 293 → 242.

Y₃₄₆ = (к * (X₃₄₄ – X₃₄₆) – Y₃₄₄) mod P = (182 * (67 – 242) – 53) mod 293 =

= -31903 mod 293 = - 259 mod 293 = (293-259) mod 293 = 34 mod 293 → 34.

Следовательно, [346]G = (X₃₄₆; Y₃₄₆) = (242; 34), координаты точки [346]G определены как X₃₄₆ = 242; Y₃₄₆ = 34.

Вычисление композиции точек [346]G и G;

[346]G + G = [347]G = (X₃₄₇; Y₃₄₇).

( [346]G = (X₃₄₆; Y₃₄₆) = (X₃₄₆ =242; Y₃₄₆ =34); G = (X₁; Y₁) = (X₁ =18;

Y₁ =11) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [346]G и G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 23 * 224^-1 mod 293 = 23 * 224²⁹¹ mod 293 = 23 * 276 mod 293 =

= 6348 mod 293 = 195 mod 293 → 195, т.е. к = 195.

- Вычисляются координаты точки [347]G = (X₃₄₇; Y₃₄₇):

X₃₄₇ = (к² – X₁ – X₃₄₆) mod P = (195² – 18 – 242) mod 293 = 37765 mod 293 =

= 261 mod 293 → 261.

Y₃₄₇ = (к * (X₃₄₆ – X₃₄₇) – Y₃₄₆) mod P = (195 * (242 – 261) – 34) mod 293 =

= -3739 mod 293 = - 223 mod 293 = (293-223) mod 293 = 70 mod 293 → 70.

Следовательно, [347]G = (X₃₄₇; Y₃₄₇) = (261; 70), координаты точки [347]G определены как X₃₄₇ = 261; Y₃₄₇ = 70.

5.4. Вычисление значения параметра электронной цифровой подписи r = X_N mod P (если значение «r» оказывается равным нулю необходимо вернуться к пункту 5.2 и выбрать иное значение «к»).

В рассматриваемом примере X_N = X₃₄₇ = 261, следовательно,

r = X_N mod P = X₃₄₇ mod 293 = 261 mod 293 → 293, т.е. r = 261.

5.5. Вычисление параметра электронной цифровой подписи S_i.

S_i = (к * h_в(М) + r * К_ЗА) mod P. Для рассматриваемого примера:

S_i = (347 * h_в(М) + 261 * 236) mod 293.

Множества значений S_i являются криптографическими элементами функции хеширования h_в(М) подписываемого электронного сообщения «М». В соответствии с ГОСТ Р 34.11-94 число элементов функции хеширования сообщения «М» составляет 32 десятичных знака, следовательно и множество криптографических элементов функции хеширования также будет содержать 32 десятичных знака. Для сообщения «Криптон» функция хеширования h_в(М) определена как:

h_В(M) → { 52 48 52 48 50 42 46 46 40 56 48 48 50 54 46 42 52 56 56 52 50 50 50 50 44 52 48 48 54 50 46 42}.

Следовательно, криптографические значения отдельных элементов функции хеширования определяются как:

S₁ = (к * h₁(М) + r * К_ЗА) mod P = (347 * 52 + 261* 236) mod 293 =

= 79640 mod 293 = 237 mod 293 → 237.

Все последующие элементы криптограммы функции хеширования h_В(M) определяются аналогичным образом. В результате выполненных операций формируется криптограмма сообщения «М» → Криптон:

C_i = S_i = {237 21 237 21 129 283 206 206 175 160 21 21 129 52 206 283 237 160 160 237 129 129 129 129 98 237 21 21 52 129 206 283}.

В результате выполненных операций формируется электронная цифровая подпись, которая отображается парными значениями параметра «r» и элемента криптографического значения функции хеширования «S_i»:

ЭЦП → {r S_i} → {r S₁; r S₂; r S₃; … r S₃₂} = {261-237; 261-21; 261-237; 261-21;261-129; 261-283;261-206;261-206;261-175;261-160;261-21;261-21;261- 129;261-52;261-206;261-283;261-237;261-160;261-160;261-237;261- 129;261-129;261-129;261-129;261-98;261- 237;261-21;261-21;261-52;261- 129;261-206;261-283;}.

Электронное сообщение «М» совместно с ЭЦП – криптограммой функции хеширования и числового значения параметра «r» передаются абоненту-получателю (в рассматриваемом примере абоненту «В»).

6. Действия абонента «В» по приему и аутентификации подписанного электронного сообщения «М».

По каналу теледоступа абонент «В» получает:

- криптограмму значения хеш-функции C_h(M) – электронную цифровую подпись сообщения «М»;

- открытый ключ К_ОА абонента-отправителя подписанного сообщения (абонента «А»);

- исходное сообщение «М».

6.1. После приема электронного сообщения «М» от абонента-отправителя абонент-получатель производит вычисление функции хеширования принятого электронного сообщения «М» - h_в(М).

6.2. Проверяется условие, что принятые элементы ЭЦП (r; S_i) удовлетворяют соотношению «0 < r; S_i < N. Если условие не удовлетворено принятое сообщение отвергается как модифицированное.

6.3. Вычисляются параметры U₁ = S_i * h(M)^-1 mod P и

U₂ = - r * h(M)^-1 mod P.

6.4. Вычисляется композиция точек на заданной эллиптической кривой Q = [U₁]G + [U₂]К_ОА, в случае равенства значения абсциссы X_Q по модулю «Р» числовому значению принятого параметра ЭЦП «r» принятое сообщение «М» признается достоверным, в противном случае признается факт модификации принятого сообщения.

Если X_Q mod P = r mod P подпись доверительна.

Рассмотрим процесс аутентификации принятого сообщения «Криптон» по первому значению криптографического элемента функции хеширования «S₁ = 237» и числовому значению параметра «r = 261» полученными от абонента-отправителя (абонента «А»).

6.5. Вычисление параметров U₁ и U₂ дляпервого элемента криптограммы функции хеширования S₁ = 237 полученного сообщения «М».

U₁ = S_i * h(M)^-1 mod P = S₁ * h₁(M)^-1 mod P = 237 * 52^-1 mod 293 =

237 * 52²⁹¹ mod 293 = 237 * 62 mod 293 = 14694 mod 293 = 44 mod 293 → 44

U₂ = - r * h(M)^-1 mod P = - r * h₁(M)^-1 mod P = - 261 * 52^-1 mod 293 =

= - 261 * 52²⁹¹ mod 293 = -261 * 62 mod 293 = - 16182 mod 293 =

= -67 mod 293 = (293-67) mod 293 = 226 mod 293 → 226

6.6. После вычисления значений U₁ = S_i * h(M)^-1 mod P и U₂ = - r * h(M)^-1 mod P вычисляется композиция точек на заданной эллиптической кривой Q = [U₁]G + [U₂]К_ОА.

6.6.1. Для вычисления композиции Q = [U₁]G + [U₂]К_ОА изначально необходимо вычислить значение [U₁]G = [44]G. Для вычисления [44]G изначально необходимо вычислить все удвоения точки G до [32]G, т.к. число 32 является максимальным числом степени 2ⁿ в составе числа 44. Значение числа 44 числам 2ⁿ можно отобразить как 44 = 32 + 8 + 4, т.е. на первом этапе для вычисления параметра «[44]G» необходимо вычислить следующие точки удвоения точки G: [4]G, [8]G, [32]G. Значения указанного множества точек берутся из ранее выполненных вычислений (пункт 3.1):

[32]G → (X₃₂ = 243; Y₃₂ = 3); [8]G → (X₈ = 84; Y₈ = 254);

[4]G → (X₄ = 86; Y₄ = 71).

Для вычисления композиции [44]G необходимо вычислить композицию точек [4]G + [8]G + [32]G = [44]G.

6.6.2. Вычисление композиции точек [32]G и [8]G;

[32]G + [8]G = [40]G = (X₄₀; Y₄₀).

( [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (X₃₂ =243; Y₃₂ =3); [8]G = (X₈; Y₈) = (X₈ =84;

Y₈ =254) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [32]G и [8]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -251 * 159^-1 mod 293 = -251 * 129²⁹¹ mod 293 = -32379 mod 293 =

- 149 mod 293 = (293-149) mod 293 = 144 mod 293 → 144, т.е. к = 144.

- Вычисляются координаты точки [40]G = (X₄₀; Y₄₀):

X₄₀ = (к² – X₈ – X₃₂) mod P = (144² – 84 – 243) mod 293 = 20409 mod 293 =

= 192 mod 293 → 192.

Y₄₀ = (к * (X₃₂ – X₃₄₆) – Y₄₀) mod P = (144 * (243 – 192) – 3) mod 293 =

= 7341 mod 293 = 16 mod 293 → 16.

Следовательно, [40]G = (X₄₀; Y₄₀) = (192; 16), координаты точки [40]G определены как X₄₀ = 192; Y₄₀ = 16.

6.6.3. Вычисление композиции точек [40]G и [4]G;

[40]G + [4]G = [44]G = (X₄₄; Y₄₄).

( [40]G = (X₄₀; Y₄₀) = (X₄₀ =192; Y₄₀ =16); [4]G = (X₄; Y₄) = (X₄ =86; Y₄ =71) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [40]G и [4]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -55 * 106^-1 mod 293 = -55 * 106²⁹¹ mod 293 = -55 * 47 mod 293 =

- 2585 mod 293 = -241 mod 293 = (293-241) mod 293 = 52 mod 293 → 52, т.е. к = 52.

- Вычисляются координаты точки [44]G = (X₄₄; Y₄₄):

X₄₄ = (к² – X₄ – X₄₀) mod P = (55² – 86 – 192) mod 293 = 2426 mod 293 =

= 82 mod 293 → 82.

Y₄₄ = (к * (X₄₀ – X₄₄) – Y₄₀) mod P = (52 * (192 – 82) – 16) mod 293 =

= 5704 mod 293 = 137 mod 293 → 137.

Следовательно, [44]G = (X₄₄; Y₄₄) = (82; 137), координаты точки [40]G определены как X₄₄ = 82; Y₄₄ = 137.

6.6.4.Для вычисления [U₂]К_ОА = [226]К_ОА изначально необходимо вычислить все удвоения точки К_ОА до [128]К_ОА, т.к. число 128 является максимальным числом степени 2ⁿ в составе числа 226. Значение числа 226 по числам 2ⁿ можно отобразить как 226 = 128 + 64 + 32 + 2, т.е. на первом этапе для вычисления параметра «[U₂]К_ОА = [226]К_ОА» необходимо вычислить следующие точки удвоения точки К_ОА: [2] К_ОА, [4] К_ОА, [8] К_ОА, [16] К_ОА, [32] К_ОА, [64]G, [128] К_ОА.

6.6.4.1. Вычисление координат точки [2]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки К_ОА = (X₁; Y₁) = (231; 165):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке К_ОА = (X₁; Y₁) = (231; 165):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 160091 * 330^-1 mod 293 = 160091 * 330²⁹¹ mod 293 = 113 * 198 mod 293 =

= 22374 mod 293 = 106 mod 293 → 106.

- вычисление координат точки [2]К_ОА = (X₂; Y₂)

X₂= (к² – 2X₁) mod P = (106² - 2*231) mod 293 = (11236 – 462) mod 293 =

= 10774 mod 293 = 226 mod 293 → 226;

Y₂ = (к * (X₁ – X₂) – Y₁) mod P = (106* (231 – 226) – 165) mod 293 =

= 365 mod 293 = 72 mod 293 → 72.

Следовательно, [2]К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72), координаты точки [2]К_ОА определены как X₂ = 226; Y₂ = 72.

6.6.4.2. Вычисление координат точки [4]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [2] К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [2]К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 153236 * 144^-1 mod 293 = 290 * 144²⁹¹ mod 293 = 290 * 234 mod 293 =

= 67860 mod 293 = 177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [4]К_ОА = (X₄; Y₄)

X₄= (к² – 2X₂) mod P = (177² - 2*226) mod 293 = (31329 – 452) mod 293 =

= 30877 mod 293 = 112 mod 293 → 112;

Y₄ = (к * (X₂ – X₄) – Y₂) mod P = (177* (226 – 112) – 72) mod 293 =

= 20106 mod 293 = 182 mod 293 → 182.

Следовательно, [4]К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182), координаты точки [4]К_ОА определены как X₄ = 112; Y₄ = 182.

6.6.4.3. Вычисление координат точки [8]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [4] К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [4]К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 37640 * 364^-1 mod 293 = 136 * 364²⁹¹ mod 293 = 136 * 260 mod 293 =

= 35360 mod 293 = 200 mod 293 → 200.

- вычисление координат точки [8]К_ОА = (X₈; Y₈)

X₈= (к² – 2X₄) mod P = (200² - 2*112) mod 293 = (40000 – 224) mod 293 =

= 39776 mod 293 = 221 mod 293 → 221;

Y₈ = (к * (X₄ – X₈) – Y₄) mod P = (200* (112 – 221) – 182) mod 293 =

= - 21800 - 182 mod 293 = - 21982 mod 293 = - 7 mod 293 = 286 mod 293 → 286.

Следовательно, [8]К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286), координаты точки [8]К_ОА определены как X₈ = 221; Y₈ = 286.

6.6.4.4. Вычисление координат точки [16]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [8] К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [8]К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 146531 * 572^-1 mod 293 = 31 * 572²⁹¹ mod 293 = 31 * 272 mod 293 =

= 8432 mod 293 = 228 mod 293 → 228.

- вычисление координат точки [16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆)

X₁₆= (к² – 2X₈) mod P = (228² - 2*221) mod 293 = (51984 – 442) mod 293 =

= 51542 mod 293 = 267 mod 293 → 267;

Y₁₆ = (к * (X₈ – X₁₆) – Y₈) mod P = (228* (221 – 267) – 286) mod 293 =

= - 10488 - 286 mod 293 = - 10774 mod 293 = - 226 mod 293 =

= (293 – 226) mod 293 = 67 mod 293 → 67.

Следовательно, [16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67), координаты точки [16]К_ОА определены как X₁₆ = 267; Y₁₆ = 67.

6.6.4.5. Вычисление координат точки [32]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [16] К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 213875 * 134^-1 mod 293 = 278 * 134²⁹¹ mod 293 = 278 * 164 mod 293 =

= 45592 mod 293 = 177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂)

X₃₂= (к² – 2X₁₆) mod P = (177² - 2*267) mod 293 = (31329 – 534) mod 293 =

= 30795 mod 293 = 30 mod 293 → 30;

Y₃₂ = (к * (X₁₆ – X₃₂) – Y₁₆) mod P = (177* (267 – 30) – 67) mod 293 =

= 41882 mod 293 = 276 mod 293 → 276.

Следовательно, [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276), координаты точки [32]К_ОА определены как X₃₂ = 30; Y₁₆ = 276.

6.6.4.6. Вычисление координат точки [64]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [32] К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 2708 * 552^-1 mod 293 = 2708 * 552²⁹¹ mod 293 = 71* 112 mod 293 =

= 7952 mod 293 = 41 mod 293 → 41.

- вычисление координат точки [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄)

X₆₄= (к² – 2X₃₂) mod P = (41² - 2*30) mod 293 = (1681 – 60) mod 293 =

= 1621 mod 293 = 156 mod 293 → 156;

Y₆₄ = (к * (X₃₂ – X₆₄) – Y₃₂) mod P = (41* (30 – 156) – 276) mod 293 =

= - 5442 mod 293 = -168 mod 293 = (293-168) mod 293 → 125.

Следовательно, [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125), координаты точки [64]К_ОА определены как X₆₄ = 156; Y₆₄ = 125.

6.6.4.7. Вычисление координат точки [128]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [64] К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 73016 * 250^-1 mod 293 = 59 * 250²⁹¹ mod 293 = 59* 109 mod 293 =

= 6431 mod 293 = 278 mod 293 → 278.

- вычисление координат точки [128]К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈)

X₁₂₈= (к² – 2X₆₄) mod P = (278² - 2*156) mod 293 = (77284 – 312) mod 293 =

= 76972 mod 293 = 206 mod 293 → 206;

Y₁₂₈ = (к * (X₆₄ – X₁₂₈) – Y₆₄) mod P = (278* (156 – 206) – 125) mod 293 =

= - 14025 mod 293 = -254 mod 293 = (293-254) mod 293 = 39 mod 293 → 39.

Следовательно, [128]К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (206; 39), координаты точки [128]К_ОА определены как X₁₂₈ = 206; Y₁₂₈ = 39.

6.6.5. Вычисление композиций точек удвоения

[U₂]К_ОА =[226]К_ОА = [128]К_ОА + [64]К_ОА + [32]К_ОА + [2]К_ОА; заданной эллиптической кривой.

6.6.5.1. Вычисление композиции точек [128]К_ОА и [64]К_ОА;

[128]К_ОА + [64]К_ОА = [192]К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂).

( [128] К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (X₁₂₈ =206; Y₁₂₈ =39); [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) =

(X₆₄ =156; Y₆₄ =125) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [128]К_ОА и [64]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -86 * 50^-1 mod 293 = -86 * 50²⁹¹ mod 293 = -4300 mod 293 =

- 198 mod 293 = (293-198) mod 293 = 95 mod 293 → 95, т.е. к = 95.

- Вычисляются координаты точки [192]К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂):

X₁₉₂ = (к² – X₆₄ – X₁₂₈) mod P = (95² – 156 – 206) mod 293 = 8663 mod 293 =

= 166 mod 293 → 166.

Y₁₉₂ = (к * (X₁₂₈ – X₁₉₂) – Y₁₂₈) mod P = (95 * (206 – 166) – 39) mod 293 =

= 3761 mod 293 = 245 mod 293 → 245.

Следовательно, [192]К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (166; 245), координаты точки [192]К_ОА определены как X₁₉₂ = 166; Y₁₉₂ = 245.

6.6.5.2. Вычисление композиции точек [192]К_ОА и [32]К_ОА;

[192]К_ОА + [32]К_ОА = [224]К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄).

( [192] К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (X₁₉₂ =166; Y₁₉₂ =245); [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) =

(X₃₂ =30; Y₃₂ =276) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [192]К_ОА и [32]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -31 * 136^-1 mod 293 = -31 * 136²⁹¹ mod 293 = - 31* 265 mod 293 =

= -8215 mod 293 = - 11 mod 293 = (293-11) mod 293 = 282 mod 293 → 282, т.е. к = 282.

- Вычисляются координаты точки [224]К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄):

X₂₂₄ = (к² – X₃₂ – X₁₉₂) mod P = (282² – 30 – 166) mod 293 =

= 79524 -30 – 166 mod 293 = 79328 mod 293 = 218 mod 293 → 218.

Y₂₂₄ = (к * (X₃₂ – X₂₂₄) – Y₃₂) mod P = (282 * (30 – 218) – 276) mod 293 =

= - 53292 mod 293 = - 259 mod 293 = (293 – 259) mod 293 = 34 mod 293 → 34.

Следовательно, [224]К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (218; 34), координаты точки [224]К_ОА определены как X₂₂₄ = 218; Y₂₂₄ = 34.

6.6.5.3. Вычисление композиции точек [224]К_ОА и [2]К_ОА;

[224]К_ОА + [2]К_ОА = [226]К_ОА = (X₂₂₆; Y₂₂₆).

( [224] К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (X₂₂₄ =218; Y₂₂₄ =34); [2]К_ОА = (X₂; Y₂) =

(X₂ =226; Y₂ =72) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [224]К_ОА и [2]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 38 * 8^-1 mod 293 = 38 * 8²⁹¹ mod 293 = 38* 110 mod 293 =

= 4180 mod 293 = 78 mod 293 → 78, т.е. к = 78.

- Вычисляются координаты точки [226]К_ОА = (X₂₂₆; Y₂₂₆):

X₂₂₆ = (к² – X₂ – X₂₂₄) mod P = (78² – 226 – 218) mod 293 =

= 5640 mod 293 = 73 mod 293 → 73.

Y₂₂₆ = (к * (X₂ – X₂₂₆) – Y₂) mod P = (78 * (226 – 218) – 72) mod 293 =

= 552 mod 293 = 259 mod 293 = 259 mod 293 → 259.

Следовательно, [226]К_ОА = (X₂₂₆; Y₂₂₆) = (73; 259), координаты точки [226]К_ОА определены как X₂₂₆ = 73; Y₂₂₆ = 259.

6.6.5.4. Вычисление композиции точек [U₁]G и [U₂]К_ОА;

Q = [U₁]G и [U₂]К_ОА =[44]G + [226] К_ОА.

(X₄₄=82; Y₄₄=137) для G; (X₂₂₆ =73; Y₂₂₆=259) для К_ОА

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [44]G и [226]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -122 * 9^-1 mod 293 = -122 * 9²⁹¹ mod 293 = - 228 mod 293 =

= 65 mod 293 → 65, т.е. к = 65.

- Вычисляются координаты точки Q = (X_Q; Y_Q):

X_Q = (к² – X₄₄ – X₂₂₆) mod P = (65² – 82 – 73) mod 293 =

= 4070 mod 293 = 261 mod 293 → 261.

Y_Q = (к * (X₄₄ – X_Q) – Y₄₄) mod P = (65 * (82 – 261) – 137) mod 293 =

= - 11772 mod 293 = - 52 mod 293 = (293-52) mod 293 = 241 mod 293→ 241.

Следовательно, Q = (X_Q; Y_Q) = (261; 241), координаты точки Q определены как X_Q = 261; Y_Q = 241.

6.6.5.5. Сравниваются вычисленные значения параметра «r», принятого в составе ЭЦП от абонента-отправителя и значения абсциссы точки «Q» → «X_Q», вычисленное абонентом получателем.

r = X_N mod P = X₃₄₇ mod 293 = 261 mod 293 → 261, т.е. r = 261.

X_Q modP = 261 mod 293 → 261.

В силу равенства значений X_Q modP = 261 mod 293 → 261 и

r = X_N mod P = X₃₄₇ mod 293 = 261 mod 293 → 261;

X_Q = 261 r = 261 вычисленный первый элемент ЭЦП «h_B(M)» сообщения «М» признается достоверным.

Аналогичные вычисления производятся для всех значений элементов функции хеширования принятого сообщения «М» и в случае их равенства принятому параметру «r» в составе ЭЦП сообщение «М» признается достоверным.