Действия абонента-отправителя по формированию ЭЦП исходного сообщения «М»

4. Абонент-отправитель формирует исходное сообщение «М» (в качестве примера выбрано слово «Криптон») и вычисляет значение функции хеширования h(M)^B. В рассматриваемом примере h(M)^B = 52 48 52 48 50 42 46 46 40 56 48 48 50 54 46 42 52 56 56 52 50 50 50 50 44 52 48 48 54 50 46 42.

5. Для того, чтобы сформировать цифровую подпись сообщения «М» абонент-отправитель случайным образом задает целое число «k» с учетом следующих ограничений:

1 < k < Р-1 и НОД (k; (Р-1)) = 1,

т.е. выбранное случайное целое число «k» и значение (Р-1) должны быть взаимно простыми числами. Для примера «k» выбирается равным 547 k=547; число «k» также никому не передается и является постоянным только лишь для подписываемого сообщения «М».

6. Для формирования электронной цифровой подписи производятся следующие вычисления:

6.1. Вычисляется число a = G^k mod P, которое постоянно для всех элементов криптограммы функции хеширования h(M)^B исходного сообщения «М». Например, для слова «Криптон»:

a = G^к mod P = 784⁵⁴⁷ mod 883 = 141 mod 883 → 141.

6.2. Вычисляются с помощью закрытого (секретного) ключа абонента-отправителя К_ЗА элементы криптограммы функции хеширования h(M)^B исходного сообщения «М», h(M)^B → С_i → b_i

Это вычисление выполняется на основе расширенного алгоритма Евклида для решения сложных сравнений вида a * X ≡ b mod P, которое отображается при вычислении элементов криптограммы хэш-функции h(M)^B в уравнение вида:

m_i = (K_OA * a + k * b_i) mod (P-1),

где: m_i – элементы значения числового выражения функции хеширования h(M)^B исходного сообщения «М»;

k – случайное целое число, выбранное для формирования ЭЦП исходного сообщения;

а – постоянное число для множества элементов криптограммы C_h(M) функции хеширования h(M)^B исходного сообщения «М»;

b_i – множество элементов₎ функции хеширования h(M)^B исходного сообщения «М».

В полученном уравнении определяемыми неизвестными параметрами являются значения элементов b_i функции хеширования h(M)^B исходного сообщения «М».

C_i = b_i = mod (P-1)

Для криптограммы хэш-значения сообщения «М» элементы криптограммы определяются как:

C_i = b_i = mod 882

547 * b_i = (m_i – 86292) mod 882

Рассмотрим решение этого уравнения относительно b_i с использованием.расширенного алгоритма Евклида для значения первого элемента хэш-функции сообщения «Криптон» m₁ = 52:

547 * b₁ ≡ (m₁ – 86292) mod 882; 547* b₁ ≡ (52 – 86292) mod 882;

547 * b₁ ≡ - 86240 mod 882; 547 * b₁≡- 686 mod 882; 547 * b₁ ≡ 196 mod 882;

Откуда: b₁ = 196 * 547^-1 mod 882, так как Р – простое число и функция Эйлера известна, то b₁ определяется как:

b₁ = 196 * 547^-1 mod 882 = 196 * 547^{φ(Р) – 1} mod 882 = 196 * 547⁸⁸¹ mod 882 =

= 196*337 mod 882 = 66052 mod 882 = 784 mod 882 → 784.

Значения остальных элементов криптограммы хэш-функции b₂ … b₃₂ определяются аналогичным образом и соответственно равны:

b_i → {b₁, b₂, … b₃₂} → {784, 318, 784, 318, 110, 60, 526, 526, 268, 368, 318, 318, 110, 576, 526, 60, 784, 368, 368, 784, 110, 110, 110, 110, 734, 784, 318, 318, 576, 110, 526, 60.

Множество чисел, состоящее из компонентов «а» и «b_i» представляют собой электронную цифровую подпись сообщения «М» («Криптон») в виде криптограммы:

ЭЦП → C_h(M) → {a, b_i} → {141_784 141_318 141_784 141_318 141_110 141_60 141_526 141_526 141_268 141_368 141_318 141_318 141_110 141_576 141_526 141_60 141_784 141_368 141_368 141_784 141_110 141_110 141_110 141_110 141_734 141_784 141_318 141_318 141_576 141_110 141_526 141_60}.

Сообщение «М» и криптограмма хэш-функции C_h(M) передаются абоненту-получателю подписанного ЭЦП сообщения «М».