Формирование криптограмм открытых сообщений и их дешифрование с использованием методов дискретного логарифмирования в метрике эллиптических кривых

В основе построения криптографических систем, базирующихся на методах асимметричного преобразования с реализацией функции дискретного логарифмирования в метрике эллиптических кривых, лежат логико-математические методы выполнения операций удвоения и композиций вычисляемых точек, принадлежащих эллиптическим кривым, и реализации операций шифрования-дешифрования на основе автоматически вычисляемых парных сеансовых ключей. Эти методы преобразований были рассмотрены ранее.

1. На первом шаге алгоритмизации операции шифрования на основе эллиптических кривых производится выбор эллиптической кривой на основе задания параметра Р – модуля преобразования и параметров эллиптической кривой «а» и «в».

Z_P (a; b): Y² = (X³ + a*X + b) mod P

Например, выбираются параметры эллиптической кривой аналогично рассмотренной ранее: Р = 293 – простое число; а = 8; в = 5. Следовательно, Z_P(a; b): Y² = (X³ +8X + 5) mod 293, где Р = 293 – простое число;

(а; в) mod P ≠ 0; (8; 5) mod 293 ≠ 0. Дискриминант уравнения эллиптической кривой не равен нулю D = (4a³ + 27b²) mod P ≠ 0. Подставляя конечные значения «а»; «b» и «Р», получаем:

D = (4*8³ + 27*5²) mod 293 = 2723 mod 293 = 8 mod 293 ≠ 0.

Требования, предъявляемые к заданной эллиптической кривой для построения криптографической системы, полностью удовлетворены, эллиптическая кривая не сингулярна.

2. Производится выбор генераторной точки на заданной эллиптической кривой, примем X_G = 18 (в качестве примера). Операция выбора генераторной точки приведена в разделе 3.3.1 «Основные операции криптографических преобразований в метрике эллиптических кривых».

3. Процессы шифрования и дешифрования сообщений в качестве примера можно рассмотреть для двух абонентов корпоративной сети, т.к. в дальнейшем этот алгоритм однозначно переносится и на достаточно большое число абонентов сетевой защищенной телекоммуникационной системы. Примем абонент А формирует конфиденциальное сообщение для абонента В.

Действия абонента А.

4. Алгоритм формирования открытого ключа абонента А - К_ОА.

1. Абонент А принимает в качестве модуля комбинированной криптографической системы простое число Р = 293, целое число а = 8 и целое число b = 5.

2. Абонент А случайным образом задает секретное число К_А = 529 и вычисляет свой секретный ключ для асимметричного метода К_ЗА:

К_ЗА = К_А mod P = 529 mod 293 = 236 mod 239 → 236.

3. На следующем шаге алгоритмизации абонент А вычисляет значение своего открытого ключа К_ОА по заданному случайным образом секретному ключу К_ЗА.

К_ОА = [К_ЗА]G = [236] (x_G; y_G) = [236] (18; 11).

4.1. Вычисление множества точек удвоения заданной эллиптической кривой.

Для вычисления открытого ключа абонента-отправителя сообщения «М» К_ОА изначально необходимо вычислить все удвоения генераторной точки «G» до [128] G, т.к. число 128 является максимальным числом степени 2ⁿ в составе числового значения закрытого ключа К_ЗА = 236. Значение закрытого ключа К_ЗА по числам 2ⁿ можно отобразить как 236 = 4 + 8 + 32 + 64 + 128, т.е. на первом этапе для вычисления открытого ключа абонента-отправителя сообщения «М» К_ОА = [К_ЗА] G = [236] G необходимо вычислить следующие точки удвоения: [4] G; [8] G; [32] G; [64] G; [128] G, а затем вычислить все композиции полученных числовых значений. Методика вычисления операций удвоения и композиций была изложена в разделе «Основные операции криптографических преобразований в метрике эллиптических кривых».

После вычисления множеств удвоения генераторной точки «G» по значению максимального нижнего предела степени 2ⁿ, т.е. n = 7 2ⁿ ≤ 236;

128 ≤ 236 определяется композиция полученного множества. Следовательно, К_ОА = [К_ЗА] G = [236] G = [4] G + [8] G + [32] G + + [64] G + [128] G.

4.1.1. Вычисление удвоения генераторной точки G (X₁; Y₁) = G (18; 11) → [2] G:

- Вычисляется угловой коэффициент касательной заданной эллиптической кривой Z_P (a; b): Y² = X³ + 8*X + 5 mod 293 в генераторной точке G(X₁; Y₁) = G(18; 11):

K = mod P = mod 293 = mod 293 = 980 * 22^-1 mod 293 = 980 * 22²⁹¹ mod 293 = 980 * 40 mod 293 = 39200 mod 293 = 231 mod 293 → 231.

- Вычисляются координаты удвоения генераторной точки G - [2]G = G(X₂; Y₂) (координаты генераторной точки «G» определены выше G(X₁; Y₁) = G(18; 11)):

X₂ = (K² – 2X₁) mod P = (231² - 2*18) mod 293 = 292 mod 293 → 292;

Y₂ = (K*(X₁ – X₂) – Y₁) mod P = (231*(18 – 292) – 11) mod 293 =

= 276 mod 293 → 276.

Следовательно, [2]G = (X₂; Y₂) = (292; 276), координаты точки [2]G определены как X₂ = 292; Y₂ = 276.

4.1.2. Вычисление операции удвоения полученной точки [2]G, т.е. вычисление точки [4]G = (X₄; Y₄):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [2]G = (X₂; Y₂) = (292; 276)

K = mod P = mod 293 = 60 mod 293 → 60.

- вычисление координат точки [4]G = (X₄; Y₄)

X₄ = (K² – 2X₂) mod P = (60² - 2*292) mod 293 = 86 mod 293 → 86;

Y₄ = (K*(X₂ – X₄) – Y₂) mod P = (60*(292 – 86) – 276) mod 293 =

= 71 mod 293 → 71.

Следовательно, [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71), координаты точки [4]G определены как X₄ = 86; Y₄ = 71.

4.1.3. Вычисление координат точки [8]G, как результат удвоения точки [4]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71)

K = mod P = mod 293 = mod 293 = 22196 * 142^-1 mod 293 = 22196 * 142²⁹¹ mod 293 = 22196 * 130 mod 293 = 221 * 130 mod 293 = 28730 mod 293 = 16 mod 293 → 16.

- вычисление координат точки [8]G = (X₈; Y₈)

X₈ = (K² – 2X₄) mod P = (16² - 2*86) mod 293 = 84 mod 293 → 84;

Y₈ = (K*(X₄ – X₈) – Y₄) mod P = (16*(86 – 84) – 71) mod 293 =

= 254 mod 293 → 254.

Следовательно, [8]G = (X₈; Y₈) = (84; 254), координаты точки [8]G определены как X₈ = 84; Y₈ = 254.

4.1.4. Вычисление координат точки [16]G, как результат удвоения точки [8]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [8]G = (X₈; Y₈) = (84; 254)

K = mod P = mod 293 = mod 293 = 21176 * 508^-1 = 21176 * 508²⁹¹ mod 293 = 80 * 154 mod 293 = 12320 mod 293 =

= 14 mod 293 → 14.

- вычисление координат точки [16]G = (X₁₆; Y₁₆)

X₁₆ = (K² – 2X₈) mod P = (14² - 2*84) mod 293 = (196 – 168) mod 293 =

= 28 mod 293 → 28;

Y₁₆ = (K*(X₈ – X₁₆) – Y₈) mod P = (14*(84 – 28) – 254) mod 293 = (784 – 254) mod 293 = 530 mod 293 = 237 mod 293 → 237.

Следовательно, [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (28; 237), координаты точки [16]G определены как X₁₆ = 28; Y₁₆ = 237.

4.1.5. Вычисление координат точки [32]G, как результат удвоения точки [16]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (28; 237)

K = mod P = mod 293 = mod 293 = 2360 * 474^-1 mod 293 = 2360 * 474²⁹¹ mod 293 = 16 * 34 mod 293 = 544 mod 293 =

= 251mod 293 → 251.

- вычисление координат точки [32]G = (X₃₂; Y₃₂)

X₃₂ = (K² – 2X₁₆) mod P = (251² - 2*28) mod 293 = (63001 – 56) mod 293 = = 62945 mod 293 = 243 mod 293 → 243;

Y₃₂ = (K*(X₁₆ – X₃₂) – Y₁₆) mod P = (251*(28 – 243) – 237) mod 293 = - 54202 mod 293 = - 290 mod 293 = (293 – 290) mod 293 = 3 mod 293 → 3.

Следовательно, [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3), координаты точки [32]G определены как X₃₂ = 243; Y₃₂= 3.

4.1.6. Вычисление координат точки [64]G, как результат удвоения точки [32]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3)

K = mod P = mod 293 = 177155 * 6^-1 mod 293 =

= 177155 * 6²⁹¹ mod 293 = 183 * 49 mod 293 = 8967 mod 293 = 177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [64]G = (X₆₄; Y₆₄)

X₆₄ = (K² – 2X₃₂) mod P = (177² - 2*243) mod 293 = 30843 mod 293 = 78 mod 293 → 78;

Y₆₄ = (K*(X₃₂ – X₆₄) – Y₃₂) mod P = (177*(243 – 78) – 3) mod 293 = 29202 mod 293 = 195 mod 293 → 195.

Следовательно, [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195), координаты точки [64]G определены как X₆₄ = 78; Y₆₄ = 195.

4.1.7. Вычисление координат точки [128]G, как результат удвоения точки [64]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195)

K = mod P = mod 293 = mod 293 = 18260 * 390²⁹¹ = 94 * 145 mod 293 = 13630 mod 293 = 152 mod 293 → 152.

- вычисление координат точки [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈)

X₁₂₈ = (K² – 2X₆₄) mod P = (152² - 2*78) mod 293 = 22948 mod 293 = 94 mod 293 → 94;

Y₁₂₈ = (K*(X₆₄ – X₁₂₈) – Y₆₄) mod P = (152*(78 – 94) – 195) mod 293 =

= 10 mod 293 → 10.

Следовательно, [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10), координаты точки [128]G определены как X₁₂₈ = 94; Y₁₂₈ = 10.

4.2. Вычисление композиций точек удвоения [4]G; [8]G; [32]G; [64]G; [128]G заданной эллиптической кривой.

Для вычисления открытого ключа абонента «А» К_ОА = [К_ЗА]G необходимы точки [4]G; [8]G; [32]G; [64]G; [128]G заданной эллиптической кривой, т.к. число 236,отображающее закрытый ключ, формируется из результатов композиций операций удвоений 236 = 4 + 8 +32 + 64 + 128.

Следовательно, значение открытого ключа К_ОА = [К_ЗА]G будет определяться результатом композиций точек [4]G; [8]G; [32]G; [64]G; [128]G.

4.2.1. Вычисление композиции точек [64]G и [128]G; [64]G + [128]G = [192]G = (X₁₉₂; Y₁₉₂). ( [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195); [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10))

- Вычисляется угловой коэффициент прямой, проходящей через точки [64]G и [128]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = - 185 * 16^-1 mod 293 = - 18 * 16²⁹¹ mod 293 = - 185 * 55 mod 293 = - 10175 mod 293 = -213 mod 293 = (293-213) mod 293 = 80 mod 293 → 80.

- Вычисляются координаты точки [192]G = (X₁₉₂; Y₁₉₂):

X₁₉₂ = (K² – X₆₄ – X₁₂₈) mod P = (80² – 78 – 94) mod 293 = 6228 mod 293 = 75 mod 293 → 75.

Y₁₉₂ = (K*(X₁₂₈ – X₁₉₂) – Y₁₂₈) mod P = (80* (94 – 75) – 10) = 1510 mod 293 = 45 mod 293 → 45

Следовательно, [192]G = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (75; 45), координаты точки [192]G определены как X₁₉₂ = 75; Y₁₉₂ = 45.

4.2.2. Вычисление композиции точек [192]G и [32]G; [192]G + [32]G = [224]G = (X₂₂₄; Y₂₂₄).([192]G = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (75; 45); [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3)).

- Вычисляется угловой коэффициент прямой, проходящей через точки [32]G и [192]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = - 42 * 168^-1 mod 293 = - 42 * 168²⁹¹ mod 293 = 251 * 75 mod 293 = 18825 mod 293 = 73 mod 293 → 73.

- Вычисляются координаты точки [224]G = (X₂₂₄; Y₂₂₄):

X₂₂₄ = (K² – X₁₉₂ – X₃₂) mod P = (73² – 75 – 243) mod 293 = 30 mod 293 → 30.

Y₂₂₄ = (K*(X₁₉₂ – X₂₂₄) – Y₁₉₂) mod P = (73* (75 – 30) – 45) mod 293 =

= 17 mod 293 → 17.

Следовательно, [224]G = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (30; 17), координаты точки [224]G определены как X₂₂₄ = 30; Y₂₂₄ = 17.

4.2.3. Вычисление композиции точек [224]G и [8]G; [224]G + [8]G = [232]G = (X₂₃₂; Y₂₃₂). ([224]G = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (30; 17); [8]G = (X₈; Y₈) = (84; 254)).

- Вычисляется угловой коэффициент прямой, проходящей через точки [224]G и [8]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = mod 293 = 237 * 54^-1 mo293 = = 237 * 54²⁹¹ mod 293 = 237 * 38 mod 293 = 9006 mod 293 = 216 mod 293 → 216.

- Вычисляются координаты точки [232]G = (X₂₃₂; Y₂₃₂):

X₂₃₂ = (K² – X₂₃₂ – X₈) mod P = (216² – 30 – 84) mod 293 = 46542 mod 293 = 248 mod 293 → 248.

Y₂₃₂ = (K*(X₂₂₄ – X₂₃₂) – Y₂₂₄) mod P = (216* (30 – 248) – 17) mod 293 =

= - 47105 mod 293 = - 225 mod 293 = (293 – 225) mod 293 = 68 mod 293 → 68.

Следовательно, [232]G = (X₂₃₂; Y₂₃₂) = (248; 68), координаты точки [232]G определены как X₂₃₂ = 248; Y₂₃₂ = 68.

4.2.4. Вычисление композиции точек [232]G и [4]G; [232]G + [4]G = [236]G = (X₂₃₆; Y₂₃₆);.([232]G = (X₂₃₂; Y₂₃₂) = (248; 68); [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71)).

- Вычисляется угловой коэффициент прямой, проходящей через точки [232]G и [4]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = - mod 293 = - 3*162^-1 mod 293 = - 3 * 162²⁹¹ mod 293 = -3 * 208 mod 293 = - 624 mod 293 = - 38 mod 293 = (293 – 38) mod 293 = 255 mod 293 → 255.

- Вычисляются координаты точки [236]G = (X₂₃₆; Y₂₃₆):

X₂₃₆ = (K² – X₂₃₂ – X₄) mod P = (255² – 248 – 86) mod 293 = 64691 mod 293 = = 231 mod 293 → 231.

Y₂₃₆ = (K*(X₂₃₂ – X₂₃₆) – Y₂₃₂) mod P = (255* (248 – 231) – 68) mod 293 =

= 4267 mod 293 = 165 mod 293 → 165.

Следовательно, [236]G = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165), координаты точки [236]G определены как X₂₃₆ = 231; Y₂₃₆ = 165.

В результате выполнения операций удвоения и композиций детерминированных множеств точек заданной эллиптической кривой определены координаты точки открытого ключа абонента «А», а, следовательно, и сам открытый ключ К_ОА = [К_ЗА]G = [236]G = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165). Открытый ключ абонента «А» К_ОА выбирается как значение абсциссы X₂₃₆ = 231, т.е. К_ОА = 231.

Абонент А передает абоненту В заданные параметры эллиптической кривой (P = 293; a = 8; b = 5), координаты генераторной точки G = (X_G; Y_G) = (18; 11) и координаты своего открытого ключа К_ОА = [К_ЗА]G = [236]G = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165) открыто по открытым каналам связи.

Действия абонента В.

5. Алгоритм формирования открытого ключа абонента В.

1. Абонент В задает случайным образом секретное число К_В = 475 и вычисляет свой закрытый (секретный) ключ К_ЗВ = К_В mod P =475 mod 293= = 182 mod 293 → 182.

2. На следующем шаге алгоритмизации абонент В вычисляет значение своего открытого ключа К_ОВ по заданному случайным образом секретному ключу К_ЗВ.

К_ОВ = [К_ЗВ]G = [182]G = [182] (18; 11).

5.1. Вычисление множеств точек удвоения заданной эллиптической кривой.

Для вычисления открытого ключа К_ОВ изначально необходимо все удвоения генераторной точки G до [128]G, т.к. число 128 является максимальным в составе К_ЗВ = 182. Значение К_ЗВ = 182 можно представить как: 182 = 2 + 4 + 16 + 32 + 128, т.е. для вычисления К_ОВ = [К_ЗВ]G = [182]G необходимо вычислить точки [2]G; [4]G; [16]G; [32]G; [128]G, а затем определить их композицию К_ОВ = [К_ЗВ]G = [182]G = [2]G + [4]G + [16]G + [32]G + [128]G.

5.1.1. Вычисление удвоения генераторной точки G(X₁; Y₁) = G(18; 11) → [2]G.

- Вычисляется угловой коэффициент касательной в генераторной точке G(X₁; Y₁) = G(18; 11):

K = mod P = mod 293 = 231 mod 293 → 231.

- Вычисляются координаты точки [2]G = G(X₂; Y₂):

X₂ = (K² – 2X₁) mod P = (231² - 2*18) mod 293 = 292 mod 293 → 292;

Y₂ = (K*(X₁ – X₂) – Y₁) mod P = (231*(18 – 292) – 11) mod 293 =

= 276 mod 293 → 276.

Следовательно, [2]G = (X₂; Y₂) = (292; 276), координаты точки [2]G определены как X₂ = 292; Y₂ = 276.

5.1.2. Вычисление операции удвоения полученной точки [2]G, т.е. вычисление точки [4]G = (X₄; Y₄):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [2]G = (X₂; Y₂) = (292; 276)

K = mod P = mod 293 = 60 mod 293 → 60.

- вычисление координат точки [4]G = (X₄; Y₄)

X₄ = (K² – 2X₂) mod P = (60² - 2*292) mod 293 = 86 mod 293 → 86;

Y₄ = (K*(X₂ – X₄) – Y₂) mod P = (60*(292 – 86) – 276) mod 293 =

= 71 mod 293 → 71.

Следовательно, [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71), координаты точки [4]G определены как X₄ = 86; Y₄ = 71.

5.1.3. Вычисление точки [8]G, как результат удвоения точки [4]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71)

K = mod P = mod 293 = 16 mod 293 → 16.

- вычисление координат точки [8]G = (X₈; Y₈)

X₈ = (K² – 2X₄) mod P = (16² - 2*86) mod 293 = 84 mod 293 → 84;

Y₈ = (K*(X₄ – X₈) – Y₄) mod P = (16*(86 – 84) – 71) mod 293 =

= 254 mod 293 → 254.

Следовательно, [8]G = (X₈; Y₈) = (84; 254), координаты точки [8]G определены как X₈ = 84; Y₈ = 254.

5.1.4. Вычисление точки [16]G, как результат удвоения точки [8]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [8]G = (X₈; Y₈) = (84; 254)

K = mod P = mod 293 = 14 mod 293 → 14.

- вычисление координат точки [16]G = (X₁₆; Y₁₆)

X₁₆ = (K² – 2X₈) mod P = (14² - 2*84) mod 293 = 28 mod 293 → 28;

Y₁₆ = (K*(X₈ – X₁₆) – Y₈) mod P = (14*(84 – 28) – 254) mod 293 =

= 237 mod 293 → 237.

Следовательно, [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (28; 237), координаты точки [16]G определены как X₁₆ = 28; Y₁₆ = 237.

5.1.5. Вычисление точки [32]G, как результат удвоения точки [16]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (28; 237)

K = mod P = mod 293 = 251 mod 293 → 251.

- вычисление координат точки [32]G = (X₃₂; Y₃₂)

X₃₂ = (K² – 2X₁₆) mod P = (251² - 2*28) mod 293 = 243 mod 293 → 243;

Y₃₂ = (K*(X₁₆ – X₃₂) – Y₁₆) mod P = (251*(28 – 243) – 237) mod 293 =

= 3 mod 293 → 3.

Следовательно, [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3), координаты точки [32]G определены как X₃₂ = 243; Y₃₂= 3.

5.1.6. Вычисление точки [64]G, как результат удвоения точки [32]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3)

K = mod P = mod 293 = 177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [64]G = (X₆₄; Y₆₄)

X₆₄ = (K² – 2X₃₂) mod P = (177² - 2*243) mod 293 = 78 mod 293 → 78;

Y₆₄ = (K*(X₃₂ – X₆₄) – Y₃₂) mod P = (177*(243 – 78) – 3) mod 293 =

= 195 mod 293 → 195.

Следовательно, [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195), координаты точки [64]G определены как X₆₄ = 78; Y₆₄ = 195.

5.1.7. Вычисление точки [128]G, как результат удвоения точки [64]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195)

K = mod P = mod 293 = 152 mod 293 → 152.

- вычисление координат точки [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈)

X₁₂₈ = (K² – 2X₆₄) mod P = (152² - 2*78) mod 293 = 94 mod 293 → 94;

Y₁₂₈ = (K*(X₆₄ – X₁₂₈) – Y₆₄) mod P = (152*(78 – 94) – 195) mod 293 =

= 10 mod 293 → 10.

Следовательно, [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10), координаты точки [128]G определены как X₁₂₈ = 94; Y₁₂₈ = 10.

5.2. Вычисление композиций различных точек удвоения заданной эллиптической кривой ([2]G; [4]G; [16]G; [32]G; [128]G).

Для вычисления открытого ключа абонента В необходимо использовать пять следующих точек [2]G; [4]G; [16]G; [32]G; [128]G. Это подмножество точек определяется числовым значением секретного ключа абонента В К_ЗВ = 182. Число 182 определяется композицией точек подмножества 182 = 2 + 4 + 16 + 32 + 128. В свою очередь, [К_ЗВ]G = [182]G = [2]G + [4]G + [16]G + [32]G + [128]G.

5.2.1. Вычисление композиции точек [128]G и [32]G ([128]G + [32]G = [160G]):

([128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10); [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3)).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [128]G и [32]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 173 mod 293 → 173.

- Вычисляются координаты точки [160]G = (X₁₆₀; Y₁₆₀):

X₁₆₀ = (K² – X₁₂₈ – X₃₂) mod P = (173² – 94 – 243) mod 293 = 292 mod 293 → 292.

Y₁₆₀ = (K*(X₁₂₈ – X₁₆₀) – Y₁₂₈) mod P = (173* (94 – 292) – 10) mod 293 =

= 17 mod 293 → 17.

Следовательно, [160]G = (X₁₆₀; Y₁₆₀) = (292; 17), координаты точки [160]G определены как X₁₆₀ = 292; Y₁₆₀ = 17.

5.2.2. Вычисление композиции точек [160]G и [16]G ([160]G + [16]G = [176]G):

([160]G = (X₁₆₀; Y₁₆₀) = (292; 17); [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (28; 237)).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [160]G и [16]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 48 mod 293 → 48.

- Вычисляются координаты точки [176]G = (X₁₇₆; Y₁₇₆):

X₁₇₆ = (K² – X₁₆₀ – X₁₆) mod P = (48² – 292 – 28) mod 293 = 226 mod 293 → 226.

Y₁₇₆ = (K*(X₁₆₀ – X₁₇₆) – Y₁₆₀) mod P = (48* (292 – 226) – 17) mod 293 =

= 221 mod 293 → 221.

Следовательно, [176]G = (X₁₇₆; Y₁₇₆) = (226; 221), координаты точки [176]G определены как X₁₇₆ = 226; Y₁₇₆ = 221.

5.2.3. Вычисление композиции точек [176]G и [4]G ([176]G + [4]G = [180]G):

([176]G = (X₁₇₆; Y₁₇₆) = (226; 221); [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71)).

- Вычисление углового коэффициента касательной прямой, проходящей через точки [176]G и [4]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 22 mod 293 → 22.

- Вычисляются координаты точки [180]G = (X₁₈₀; Y₁₈₀):

X₁₈₀ = (K² – X₁₇₆ – X₄) mod P = (22² – 226 – 86) mod 293 = 172 mod 293 → 172.

Y₁₈₀ = (K*(X₁₇₆ – X₁₈₀) – Y₁₇₆) mod P = (22* (226 – 172) – 221) mod 293 =

= 88 mod 293 → 88.

Следовательно, [180]G = (X₁₈₀; Y₁₈₀) = (172; 88), координаты точки [180]G определены как X₁₈₀ = 172; Y₁₈₀ = 88.

5.2.4. Вычисление композиции точек [180]G и [2]G ([180]G + [2]G = [182]G):

[180]G = (X₁₈₀; Y₁₈₀) = (172; 88); [2]G = (X₂; Y₂) = (292; 276).

- Вычисление углового коэффициента касательной прямой, проходящей через точки [180]G и [2]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 109 mod 293 → 109.

- Вычисляются координаты точки [182]G = (X₁₈₂; Y₁₈₂):

X₁₈₂ = (K² – X₁₈₀ – X₂) mod P = (109² – 172 – 292) mod 293 = 283 mod 293 → 283.

Y₁₈₂ = (K*(X₁₈₀ – X₁₈₂) – Y₁₈₀) mod P = (109* (172 – 283) – 88) mod 293 =

= 119 mod 293 → 119.

Следовательно, [182]G = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = (283; 119), координаты точки [182]G определены как X₁₈₂ = 283; Y₁₈₂ = 119.

Таким образом, значение открытого ключа абонента В определится как К_ОВ = [К_ЗВ]G = [182]G = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = (283; 119) при значении закрытого (секретного) ключа абонента В равного К_ЗВ = 182.

6. Вычисление парного сеансового ключа шифрования-дешифрования для абонентов А и В на основе преобразований Диффи-Хеллмана.

6.1. Действие абонента В.

Абонент В на своем рабочем компьютере вычисляет значение секретного парного сеансового симметричного ключа шифрования-дешифрования К_АВ, используя метод Диффи-Хеллмана К_АВ = [К_ЗВ]К_ОА.

В пункте 3.3.2.4 определена точка, характеризующая открытый ключ абонента «А» К_ОА = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165). Численное значение открытого ключа абонента А определяется числовым значением координаты «Х» точки К_ОА, т.е. значением абсциссы Х₂₃₆ = 231 заданной эллиптической кривой, принимается значение открытого ключа абонента А равное К_ОА = 231.

Для вычисления секретного парного сеансового симметричного ключа шифрования-дешифрования между абонентами А и В на стороне абонента В выполняются операции вычислений всех удвоений точки К_ОА=G₂₃₆ вплоть до [128]К_ОА, т.к. число 128 является максимальным по показателю 2ⁿ в составе чисел до 182 (К_ЗВ = 182 – закрытый ключ абонента «В»; К_ОА = G₂₃₆ =(231; 165) – открытый ключ абонента «А»), а затем определяется композиция детерминированных точек удвоения.

6.1.1. Вычисление точки [2]К_ОА, как результат удвоения точки К_ОА:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке К_ОА = =G₂₃₆ = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165)

K = mod P = mod 293 = 106 mod 293 → 106.

- вычисление координат точки [2] К_ОА = (X₂; Y₂)

X₂ = (K² – 2X₂₃₆) mod P = (106² - 2*231) mod 293 = 226 mod 293 → 226;

Y₂ = (K*(X₂₃₆ – X₂) – Y₂₃₆) mod P = (106*(231 – 226) – 165) mod 293 =

= 72 mod 293 → 72.

Следовательно, [2] К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72), координаты точки [2] К_ОА определены как X₂ = 226; Y₂ = 72.

6.1.2. Вычисление точки [4]К_ОА, как результат удвоения точки [2]К_ОА ([2]К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [2]К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72)

K = mod P = mod 293 = 177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [4] К_ОА = (X₄; Y₄)

X₄ = (K² – 2X₂) mod P = (177² - 2*226) mod 293 = 112 mod 293 → 112;

Y₄ = (K*(X₂ – X₄) – Y₂) mod P = (177*(226 – 112) – 72) mod 293 =

= 182 mod 293 → 182.

Следовательно, [4] К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182), координаты точки

[4] К_ОА определены как X₄ = 112; Y₄ = 182.

6.1.3. Вычисление точки [8]К_ОА, как результат удвоения точки [4]К_ОА ([4]К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [4]К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182)

K = mod P = mod 293 = 200 mod 293 → 200.

- вычисление координат точки [8] К_ОА = (X₈; Y₈)

X₈ = (K² – 2X₄) mod P = (200² - 2*112) mod 293 = 221 mod 293 → 221;

Y₈ = (K*(X₄ – X₈) – Y₄) mod P = (200*(112 – 221) – 182) mod 293 =

= 286 mod 293 → 286.

Следовательно, [8] К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286), координаты точки

[8] К_ОА определены как X₈ = 221; Y₈ = 286.

6.1.4. Вычисление точки [16]К_ОА, как результат удвоения точки [8]К_ОА ([8]К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [8]К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286)

K = mod P = mod 293 = 228 mod 293 → 228.

- вычисление координат точки [16] К_ОА = (X₁₆; Y₁₆)

X₁₆ = (K² – 2X₈) mod P = (228² - 2*221) mod 293 = 267 mod 293 → 267;

Y₁₆ = (K*(X₈ – X₁₆) – Y₈) mod P = (228*(221 – 267) – 286) mod 293 =

= 67 mod 293 → 67.

Следовательно, [16] К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67), координаты точки

[16] К_ОА определены как X₁₆ = 267; Y₁₆ = 67.

6.1.5. Вычисление точки [32]К_ОА, как результат удвоения точки [16]К_ОА ([16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67)

K = mod P = mod 293 =177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [32] К_ОА = (X₃₂; Y₃₂)

X₃₂ = (K² – 2X₁₆) mod P = (177² - 2*267) mod 293 = 30 mod 293 → 30;

Y₃₂ = (K*(X₁₆ – X₃₂) – Y₁₆) mod P = (177*(267 – 30) – 67) mod 293 =

= 276 mod 293 → 276.

Следовательно, [32] К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276), координаты точки

[32] К_ОА определены как X₃₂ = 30; Y₃₂ = 276.

6.1.6. Вычисление точки [64]К_ОА, как результат удвоения точки [32]К_ОА ([32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276)

K = mod P = mod 293 =41 mod 293 → 41.

- вычисление координат точки [64] К_ОА = (X₆₄; Y₆₄)

X₆₄ = (K² – 2X₃₂) mod P = (41² - 2*30) mod 293 = 156 mod 293 → 156;

Y₆₄ = (K*(X₃₂ – X₆₄) – Y₃₂) mod P = (41*(30 – 156) – 276) mod 293 =

= 125 mod 293 → 125.

Следовательно, [64] К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125), координаты точки

[64] К_ОА определены как X₆₄ = 156; Y₆₄ = 125.

6.1.7. Вычисление точки [128]К_ОА, как результат удвоения точки [64]К_ОА ([64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125)

K = mod P = mod 293 =278 mod 293 → 278.

- вычисление координат точки [128] К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈)

X₁₂₈ = (K² – 2X₆₄) mod P = (278² - 2*156) mod 293 = 206 mod 293 → 206;

Y₁₂₈ = (K*(X₆₄ – X₁₂₈) – Y₆₄) mod P = (278*(156 – 206) – 125) mod 293 =

= 39 mod 293 → 39.

Следовательно, [128] К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (206; 39), координаты точки [128] К_ОА определены как X₁₂₈ = 206; Y₁₂₈ = 39.

6.2. Вычисление композиций различных точек удвоения заданной эллиптической кривой: [2]К_ОА; [4] К_ОА; [16] К_ОА; [32] К_ОА; [128]К_ОА).

Для вычисления парного сеансового симметричного ключа шифрования-дешифрования по методу Диффи-Хеллмана в метрике заданной эллиптической кривой со стороны абонента «В» необходимо вычислить композицию пяти точек: [2]К_ОА; [4] К_ОА; [16] К_ОА; [32] К_ОА; [128]К_ОА).

Это подмножество точек определяется тем, что числовое значение закрытого ключа абонента «В» К_ЗВ = 182 получается в результате суммирования элементов перечисленного подмножества 182 = 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182.

6.2.1. Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [128]K_OA и [32]K_OA, т.е. вычисление точки [160]К_ОА= =[128]K_OA+[32]K_OA.

[128]K_OA = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (206; 39); [32]K_OA= (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276).

- Вычисление углового коэффициента касательной в точке [160]К_ОА= [128]K_OA+[32]K_OA заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 280 mod 293 → 280.

- Вычисляются координаты точки [160]K_OA = (X₁₆₀; Y₁₆₀):

X₁₆₀ = (K² – X₁₂₈ – X₃₂) mod P = (280² – 206 – 30) mod 293 = 226 mod 293 → 226.

Y₁₆₀ = (K*(X₁₂₈ – X₁₆₀) – Y₁₂₈) mod P = (280* (206 – 226) – 39) mod 293 =

= 221 mod 293 → 221.

Следовательно, [160]К_ОА = (X₁₆₀; Y₁₆₀) = (226; 221), координаты точки [160]К_ОА определены как X₁₆₀ = 226; Y₁₆₀ = 221.

6.2.2. Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [160]K_OA и [16]K_OA, т.е. вычисление точки [176]К_ОА= =[160]K_OA+[16]K_OA.

[160]K_OA = (X₁₆₀; Y₁₆₀) = (226; 221); [16]K_OA= (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [160]K_OA и 16]K_OA заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 82 mod 293 → 82.

- Вычисляются координаты точки [176]K_OA = (X₁₇₆; Y₁₇₆):

X₁₇₆ = (K² – X₁₆₀ – X₁₆) mod P = (82² – 226 – 267) mod 293 = 78 mod 293 → 78.

Y₁₇₆ = (K*(X₁₆₀ – X₁₇₆) – Y₁₆₀) mod P = (82* (226 – 78) – 221) mod 293 =

= 195 mod 293 → 195.

Следовательно, [176]К_ОА = (X₁₇₆; Y₁₇₆) = (78; 195), координаты точки [176]К_ОА определены как X₁₇₆ = 78; Y₁₇₆ = 195.

6.2.3. Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [176]K_OA и [4]K_OA, т.е. вычисление точки [180]К_ОА= =[176]K_OA+[4]K_OA.

[176]K_OA = (X₁₇₆; Y₁₇₆) = (78; 195); [4]K_OA= (X₄; Y₄) = (112; 182).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [176]K_OA и [4]K_OA заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 284 mod 293 → 284.

- Вычисляются координаты точки [180]K_OA = (X₁₈₀; Y₁₈₀):

X₁₈₀ = (K² – X₁₇₆ – X₄) mod P = (284² – 78 – 112) mod 293 = 184 mod 293 → 184.

Y₁₈₀ = (K*(X₁₇₆ – X₁₈₀) – Y₁₇₆) mod P = (284* (78 – 184) – 195) mod 293 =

= 173 mod 293 → 173.

Следовательно, [180]К_ОА = (X₁₈₀; Y₁₈₀) = (184; 173), координаты точки [180]К_ОА определены как X₁₈₀ = 184; Y₁₈₀ = 173.

6.2.4. Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [180]K_OA и [2]K_OA, т.е. вычисление точки [182]К_ОА =[180]K_OA+[2]K_OA.

[180]K_OA = (X₁₈₀; Y₁₈₀) = (184; 173); [2]K_OA= (X₂; Y₂) = (226; 72).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [180]K_OA и [2]K_OA заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 172 mod 293 → 172.

- Вычисляются координаты точки [182]K_OA = (X₁₈₂; Y₁₈₂):

X₁₈₂ = (K² – X₁₈₀ – X₂) mod P = (172² – 184 – 226) mod 293 = 167 mod 293 → 167.

Y₁₈₂ = (K*(X₁₈₀ – X₁₈₂) – Y₁₈₀) mod P = (172* (184 – 167) – 173) mod 293 =

= 114 mod 293 → 114.

Следовательно, [182]К_ОА = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = (167; 114), координаты точки [182]К_ОА определены как X₁₈₂ = 167; Y₁₈₂ = 114.

Таким образом, вычислен парный секретный симметричный ключ на стороне абонента «В» - К_ВА= [K_ЗВ]К_ОА = [182] (231; 165) = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = = (167; 114).

Секретный парный симметричный ключ, сформированный на стороне абонента А, в числовом выражении определяется как абсцисса точки [K_ЗВ]К_ОА = [182] (231; 165) = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = (167; 114), т.е. К_ВА = 167.

6.3. Шифрование текста со стороны абонента «В» для абонента «А» с помощью сформированного парного секретного симметричного ключа шифрования по методу Диффи-Хеллмана в метрике эллиптических кривых - К_ВА = 167.

Каждый семантический элемент (буква или цифра, графики, рисунки и т.д.) с помощью таблиц принятой кодировки переводятся в цифровую форму, например в соответствии с таблицей Windows-кодировки. После такого отображения каждый элемент шифруется по вычисленному парному симметричному секретному ключу К_ВА = 167, в соответствии со следующим аналитическим преобразованием:

C_i = m_i * К_ВА mod P

Где: К_ВА -парный симметричный секретный ключ;

m_i – семантический элемент открытого теста, подлежащего криптографированию;

C_i – криптограмма элемента семантический элемент открытого теста m_i;

Для примера рассмотрим формирование криптограммы слова «Криптон»:

m₁ → К → 11101010 → 202 → C₁ = 202* 167 mod 293 = 39 → '

m₂ → Р → 11010000 → 208 → C₂ = 208 * 167 mod 293 = 162 → ў

m₃ → И → 11001000 → 200 → C₃ = 200 * 167 mod 293 = 291 → #

m₄ → П → 11001111 → 207 → C₄ = 207 * 167 mod 293 = 288 →

m₅ → Т → 11010010 → 210 → C₅ = 210 * 167 mod 293 = 203 → Л

m₆ → О → 11001110 → 206 → C₆ = 206 * 167 mod 293 = 121 → y

m₇ → Н → 11001101 → 205 → C₇ = 205 * 167 mod 293 = 247 → ч

Сформирована криптограмма слова:

«КРИПТОН» → С = { C₁C₂C₃C₄C₅C₆C₇}→{'ў# Лyч}, которая передается по открытым каналам теледоступа абоненту «А».

7. Дешифрование абонентом А криптограммы, полученной от абонента В с использованием парного секретного симметричного ключа, сформированного по методу Диффи-Хеллмана в метрике эллиптических кривых.

Со стороны абонента А вычисление парного ключа определяется как:

К_АВ = [К_ЗА]К_ОВ mod P

где:

К_АВ – парный секретный симметричный ключ шифрования-дешифрования, формируемый на стороне абонента «А»;

К_ЗА – закрытый (секретный) ключ абонента «А» асимметричной криптосистемы; в рассматриваемом примере К_ЗА= 236;

К_ОВ – открытый ключ абонента «В» асимметричной криптосистемы; в рассматриваемом примере К_ОВ= (X_ОВ; Y_ОВ) = (283; 119).

Следовательно, в рассматриваемом примере:

К_АВ = [К_ЗА]К_ОВ mod P= [236] К_ОВ mod P = [236] (X_ОВ; Y_ОВ) =[236] (283; 119)

Для определения парного секретного симметричного ключа шифрования-дешифрования на стороне абонента «А» операция такого вычисления определяется следующим образом:

- изначально вычисляются операции удвоения точки К_ОВ и всех последующих вычисляемых точек вплоть до [128] К_ОВ (для рассматриваемого примера) поскольку число 128 является максимальным степенного значения 2ⁿ в составе К_ЗА = 236.

- затем вычисляется композиция всего полученного детерминированного множества.

7.1. Вычисление удвоений множества точек заданной эллиптической кривой на стороне абонента «А» по значению точки К_ОВ, характеризующей открытый ключ абонента «В».

7.1.1. Вычисление значения удвоения точки К_ОВ – [2]К_ОВ:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке

К_ОВ (X₁; Y₁) = К_ОВ(283; 119)

K = mod P = mod 293 = 53mod 293 → 53.

- вычисление координат точки [2] К_ОВ = (X₂; Y₂)

X₂ = (K² – 2X₁) mod P = (53² - 2*283) mod 293 = 192 mod 293 → 192;

Y₂ = (K*(X₁ – X₂) – Y₁) mod P = (53*(283 – 192) – 119) mod 293 =

= 16 mod 293 → 16.

Следовательно, [2] К_ОВ = (X₂; Y₂) = (192; 16), координаты точки [2] К_ОВ определены как X₂ = 192; Y₂ = 16.

7.1.2. Вычисление точки [4]К_ОВ, как результат удвоения точки [2]К_ОВ ([2]К_ОВ = (X₂; Y₂) = (192; 16)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [2]К_ОВ = (X₂; Y₂) = (192; 16)

K = mod P = mod 293 = 160 mod 293 → 160.

- вычисление координат точки [4] К_ОВ = (X₄; Y₄)

X₄ = (K² – 2X₂) mod P = (160² - 2*192) mod 293 = 18 mod 293 → 18;

Y₄ = (K*(X₂ – X₄) – Y₂) mod P = (160*(192 – 18) – 16) mod 293 =

= 282 mod 293 → 282.

Следовательно, [4] К_ОВ = (X₄; Y₄) = (18; 282), координаты точки

[4] К_ОВ определены как X₄ = 18; Y₄ = 282.

7.1.3. Вычисление точки [8]К_ОВ, как результат удвоения точки [4]К_ОВ ([4]К_ОВ = (X₄; Y₄) = (18; 282)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [4]К_ОВ = (X₄; Y₄) = (18; 282)

K = mod P = mod 293 = 62 mod 293 → 62.

- вычисление координат точки [8] К_ОВ = (X₈; Y₈)

X₈ = (K² – 2X₄) mod P = (62² - 2*18) mod 293 = 292 mod 293 → 292;

Y₈ = (K*(X₄ – X₈) – Y₄) mod P = (62*(18 – 292) – 282) mod 293 =

= 17 mod 293 → 17.

Следовательно, [8] К_ОВ = (X₈; Y₈) = (292; 17), координаты точки

[8] К_ОВ определены как X₈ = 292; Y₈ = 17.

7.1.4. Вычисление точки [16]К_ОВ, как результат удвоения точки [8]К_ОВ ([8]К_ОВ = (X₈; Y₈) = (292; 17)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [8]К_ОВ = (X₈; Y₈) = (292; 17)

K = mod P = mod 293 = 233 mod 293 → 233.

- вычисление координат точки [16] К_ОВ = (X₁₆; Y₁₆)

X₁₆ = (K² – 2X₈) mod P = (233² - 2*292) mod 293 = 86 mod 293 → 86;

Y₁₆ = (K*(X₈ – X₁₆) – Y₈) mod P = (233*(292 – 86) – 17) mod 293 =

= 222 mod 293 → 222.

Следовательно, [16] К_ОВ = (X₁₆; Y₁₆) = (86; 17), координаты точки

[16] К_ОВ определены как X₁₆ = 86; Y₁₆ = 222.

7.1.5. Вычисление точки [32]К_ОВ, как результат удвоения точки [16]К_ОВ ([16]К_ОВ = (X₁₆; Y₁₆) = (86; 222)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [16]К_ОВ = (X₁₆; Y₁₆) = (86; 222)

K = mod P = mod 293 = 277 mod 293 → 277.

- вычисление координат точки [32] К_ОВ = (X₃₂; Y₃₂)

X₃₂ = (K² – 2X₁₆) mod P = (277² - 2*86) mod 293 = 84 mod 293 → 84;

Y₃₂ = (K*(X₁₆ – X₃₂) – Y₁₆) mod P = (277*(86 – 84) – 222) mod 293 =

= 39 mod 293 → 39.

Следовательно, [32] К_ОВ = (X₃₂; Y₃₂) = (84; 39), координаты точки

[32] К_ОВ определены как X₃₂ = 84; Y₃₂ = 39.

7.1.6. Вычисление точки [64]К_ОВ, как результат удвоения точки [32]К_ОВ ([32]К_ОВ = (X₃₂; Y₃₂) = (84; 39)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [32]К_ОВ = (X₃₂; Y₃₂) = (84; 39)

K = mod P = mod 293 = 279 mod 293 → 279.

- вычисление координат точки [64] К_ОВ = (X₆₄; Y₆₄)

X₆₄ = (K² – 2X₃₂) mod P = (279² - 2*84) mod 293 = 28 mod 293 → 28;

Y₆₄ = (K*(X₃₂ – X₆₄) – Y₃₂) mod P = (279*(84 – 28) – 39) mod 293 =

= 56 mod 293 → 56.

Следовательно, [64] К_ОВ = (X₆₄; Y₆₄) = (28; 56), координаты точки

[64] К_ОВ определены как X₆₄ = 28; Y₆₄ = 56.

7.1.7. Вычисление точки [128]К_ОВ, как результат удвоения точки [64]К_ОВ ([64]К_ОВ = (X₆₄; Y₆₄) = (28; 56)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [64]К_ОВ = (X₆₄; Y₆₄) = (28; 56)

K = mod P = mod 293 = 42 mod 293 → 42.

- вычисление координат точки [128] К_ОВ = (X₁₂₈; Y₁₂₈)

X₁₂₈ = (K² – 2X₆₄) mod P = (42² - 2*28) mod 293 = 243 mod 293 → 243;

Y₁₂₈ = (K*(X₆₄ – X₁₂₈) – Y₆₄) mod P = (42*(28 – 243) – 56) mod 293 =

= 290 mod 293 → 290.

Следовательно, [128] К_ОВ = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (243; 290), координаты точки [128] К_ОВ определены как X₁₂₈ = 243; Y₁₂₈ = 290.

7.2. Вычисление композиций различных точек удвоения заданной эллиптической кривой: [4]К_ОВ; [8]К_ОВ; [32]К_ОВ; [64]К_ОА; [128]К_ОВ).

Для вычисления парного сеансового симметричного ключа шифрования-дешифрования по методу Диффи-Хеллмана в метрике заданной эллиптической кривой со стороны абонента «А» необходимо вычислить композицию пяти точек: [4]К_ОВ; [8] К_ОВ; [32] К_ОВ; [64] К_ОВ; [128]К_ОВ).

Это подмножество точек заданной эллиптической кривой определяется числовым значением закрытого ключа абонента «А» (К_ЗА = 236). Число 236 образовано суммой чисел, значения которых образованы по степенным значениям 2ⁿ, 236 = 4 + 8 + 32 + 64 + 128.

7. 2. 1. Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [128]K_OВ и [64]K_OВ, т.е. вычисление точки [192]К_ОВ= =[128]K_OВ+[64]K_OВ.

[128]K_OВ = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (243; 290); [64]K_OВ= (X₆₄; Y₆₄) = (28; 56).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [128]K_OВ и [64]K_OВ заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 290 mod 293 → 290.

- Вычисляются координаты точки [192]K_OA = (X₁₉₂; Y₁₉₂):

X₁₉₂ = (K² – X₁₂₈ – X₆₄) mod P = (290² – 243 – 28) mod 293 = 31 mod 293 → 31.

Y₁₉₂ = (K*(X₁₂₈ – X₁₉₂) – Y₁₂₈) mod P = (290* (243 – 31) – 290) mod 293 =

= 246 mod 293 → 246.

Следовательно, [192]К_ОВ = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (31; 246), координаты точки [192]К_ОА определены как X₁₉₂ = 31; Y₁₉₂ = 246.

7. 2. 2. Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [192]K_OВ и [32]K_OВ, т.е. вычисление точки [224]К_ОВ= =[192]K_OВ+[32]K_OВ.

[192]K_OВ = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (31; 246); [32]K_OВ= (X₃₂; Y₃₂) = (84; 39).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [192]K_OВ и [32]K_OВ заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 173 mod 293 → 173.

- Вычисляются координаты точки [224]K_OВ = (X₂₂₄; Y₂₂₄):

X₂₂₄ = (K² – X₁₉₂ – X₃₂) mod P = (173² – 31 – 84) mod 293 = 221 mod 293 → 221.

Y₂₂₄ = (K*(X₁₉₂ – X₂₂₄) – Y₁₉₂) mod P = (173* (31 – 221) – 246) mod 293 =

= 286 mod 293 → 286.

Следовательно, [224]К_ОВ = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (221; 286), координаты точки [224]К_ОА определены как X₂₂₄ = 221; Y₂₂₄ = 286.

7. 2. 3. Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [224]K_OВ и [8]K_OВ, т.е. вычисление точки [232]К_ОВ= =[224]K_OВ+[8]K_OВ.

[224]K_OВ = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (221; 286); [8]K_OВ= (X₈; Y₈) = (292; 17).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [224]K_OВ и [8]K_OВ заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 87 mod 293 → 87.

- Вычисляются координаты точки [232]K_OВ = (X₂₃₂; Y₂₃₂):

X₂₃₂ = (K² – X₂₂₄ – X₈) mod P = (87² – 221 – 292) mod 293 = 24 mod 293 → 24.

Y₂₃₂ = (K*(X₂₂₄ – X₂₃₂) – Y₂₂₄) mod P = (87* (221 – 24) – 286) mod 293 =

= 152 mod 293 → 152.

Следовательно, [232]К_ОВ = (X₂₃₂; Y₂₃₂) = (24; 152), координаты точки [232]К_ОА определены как X₂₃₂ = 24; Y₂₃₂ = 152.

7. 2. 4. Вычисление композиции точек заданной эллиптической кривой [232]K_OВ и [4]K_OВ, т.е. вычисление точки [236]К_ОВ= =[232]K_OВ+[4]K_OВ.

[232]K_OВ = (X₂₃₂; Y₂₃₂) = (24; 152); [4]K_OВ= (X₄; Y₄) = (18; 282).

- Вычислен