Фактическое и теоретическое корреляционные отношения

На практике принято различать следующие виды корреляции: а) парную — зависимость между результативным и факторным признаком; б) частную — зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков; в) множественную — совместное влияние нескольких признаков на результативный.

Теснота связи при линейной зависимости (см. также параграф 8.2) измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, рассчитываемого по формуле

,

где — средние квадратические отклонения для факторов x и y соответственно.

При этом количественные значения r могут интерпретироваться следующим образом (табл. 8.3).

Таблица 8.3

Интерпретация значений линейного коэффициента корреляции

Значение r	Интерпретация
r = 0	Изменение x не влияет на изменение y (связь отсутствует)
0 < r < 1	С увеличением x увеличивается y (связь прямая)
–1 < r < 0	С увеличением x уменьшается y и наоборот (связь обратная)
r = 1	Каждому значению факторного признака соответствует одно значение результативного (связь функциональная)

При изучении нелинейных зависимостей оценка тесноты связи может быть произведена с помощью корреляционного отношения, изменяющегося от 0 до +1 и вычисляемого по формуле[lix]

,

где — общая дисперсия эмпирических значений y (характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов, включая х); — факторная дисперсия теоретических значений результативного признака (отражает влияние фактора х на вариацию у); — остаточная дисперсия эмпирических значений результативного признака (отражает влияние на вариацию у всех остальных факторов, кроме х).

Оценка связи на основе корреляционного отношения может быть выполнена с помощью шкалы Чеддока (табл. 8.4).

Таблица 8.4

Интерпретация значений корреляционного отношения

Значение η	Характер связи
η = 0	Отсутствует
0 < η < 0,2	Очень слабая
0,2 ≤ η < 0,3	Слабая
0,3 ≤ η < 0,5	Умеренная
0,5 ≤ η < 0,7	Заметная
0,7 ≤ η < 0,9	Сильная
0,9 ≤ η < 1	Очень сильная
η = 1	Функциональная

Посредством линейного коэффициента корреляции измеряется теснота только линейной связи, а с помощью корреляционного отношения — любой формы. При линейной связи значения η и r совпадают. Их несовпадение свидетельствует о том, что связь между изучаемыми признаками нелинейная. Различие между корреляционным отношением и коэффициентом корреляции показывает степень нелинейности зависимости. Если разность квадратов η и r не более 0,1, то связь можно считать линейной.

Необходимо отметить, что в современной литературе многие авторы отождествляют термины «линейный коэффициент корреляции» и «коэффициент корреляции», а также термины «фактическое корреляционное отношение», «теоретическое корреляционное отношение» и «корреляционное отношение» и в зависимости от того, выполняются ли расчеты на основе аналитической группировки или по уравнению регрессии, применяют различные формулы.

Для парной линейной корреляции дисперсию фактора y можно разложить на две части[lx]:

,

где — часть дисперсии, объясненная уравнением регрессии (факторная); — необъясненная (остаточная) часть дисперсии.

Отношение к представляет собой коэффициент детерминации (доля дисперсии у, объясненная уравнением регрессии в общей вариации (дисперсии) y). Он вычисляется по формуле

,

где — наблюдаемое значение результативного фактора для i -й единицы; — теоретическое значение результативного фактора для i -й единицы; n — количество единиц в совокупности.

Коэффициент также может применяться для оценки тесноты связи между факторным (х)и результативным(у) признаками. Он изменяется в диапазоне от 0 до +1. Коэффициент R² близок к нулю, если связь между у и х практически отсутствует, и близок к единице, если связь тесная. Для линейной зависимости коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции (r).

Для многофакторной зависимостиможетвычисляться множественный коэффициент корреляции. Он изменяется в пределах от 0 до +1. Например, в случае зависимости результативного признака от двух факторов он определяется по формуле

,

где — парные коэффициенты корреляции между признаками.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи результативного фактора у и одного «независимого» фактора x_i при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами. Для двухфакторной регрессионной модели частные коэффициенты корреляции рассчитываются по следующим формулам (в первом случае исключено влияние фактора х ₂, во втором — х ₁):

; ,

Частные коэффициенты эластичности рассчитываются по каждому фактору x_i для оценки сравнительной силы влияния этих факторов на результат у:

,

где — среднее значение фактора x_i; — среднее значение результативного фактора у; — коэффициент регрессии при i -м факторе.

Интерпретация данного коэффициента — на сколько процентов следует ожидать изменения результирующего фактора при изменении фактора x_i на 1% и неизменном значении других факторов.

Частный коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов вариация результативного фактора (признака) объясняется вариацией i -го фактора (признака), входящего в множественное уравнение регрессии. Он рассчитывается по формуле

,

где — парный коэффициент корреляции между результативным и i -м факторным признаком; — стандартизованный i -й коэффициент множественного уравнения регрессии.