Барометрическая формула. Распределение Больцмана

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул – с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р, то на высоте h+dh оно равно p+dp (при dh >0 dp <0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений p и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м²:

p- (p+dp) =ρgdh,

где ρ — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Следовательно,

dp= -ρgdh. (8.5)

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа pV =(m/M) RT (m — масса газа, Μ — молярная масса газа), находим, что

ρ=m/V=pM/RT.

Подставив это выражение в (8.5), получим

dp = ,

.

С изменением высоты от h ₁ до h ₂ давление изменяется от р ₁до р ₂, т. е.

,

ln (h ₂ –h ₁),

p ₂ =p ₁ · . (8.6)

Рис.8.2

Выражение (8.6) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (8.6) может быть записано в виде:

p=p ₀ , (8.7)

где p — давление на высоте h.

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром). Его работа основана на использовании формулы (8.7). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу можно преобразовать, если воспользоваться выражением

p =nkТ,

n=n ₀ ,

где n – концентрация молекул на высоте h, n ₀ – то же, на высоте h =0.

Так как М = m ₀ N_A, то R=kN_A

n=n ₀ , (8.8)

где m ₀ gh=w_p – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

n=n ₀ . (8.9)

Выражение (8.9) называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (8.9) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

8.4. Среднее· число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега· молекул < l >.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d. Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т. е. от температуры газа (уменьшается с ростом температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости < υ >, и если < z > — среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега

< l > = .

Для определения < z > представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, который движется среди других «застывших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях, равных или меньших d, т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d.

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме этого «ломаного» цилиндра

< z>=nV.

где n — концентрация молекул, V=πd² < υ >.

Таким образом, среднее число столкновений

< z >= nπd² < υ >.

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул

< z >= nπd² < υ >.

Тогда средняя длина свободного пробега

< l >= ,

т.е. < l > обратно пропорциональна концентрации n молекул. С другой стороны, из (7.11) следует, что при постоянной температуре n пропорциональна давлению р. Следовательно,

.