Модель 5

Имеется две выборки из нормальных генеральных совокупностей ; .

Причём параметры , - неизвестны.

;

.

Решение. Найдём точечные оценки дисперсий:

;.

Предположим, что . Построим статистику . Можно доказать, что при выполнении гипотезы Н₀, - распределение Фишера , где .

Возьмем в качестве критерия проверки гипотезы H_0.

Для гипотезы область .

Если , то отклоняем Н₀ в пользу Н_а; если , у нас нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀. Здесь квантиль распределения Фишера .

Замечание. Для гипотез:

Замечание. Если гипотезу принимают, то говорят, что различие выборочных дисперсий и статистически не значимои оценка общей дисперсии такова: .

Пример 3. Расход сырья на одно изделие случаен. Результаты наблюдений таковы:

	Старая технология	Новая технология
Расход сырья
Число изделий

Предположив, что расход сырья, как при старой, так и при новой технологии имеет нормальное распределение, выяснить, влияет ли технология на средний расход сырья на одно изделие. Принять .

Решение. Здесь Найдем выборочные средние: и и выборочные дисперсии и .

По условию генеральные дисперсии не известны и неизвестно, равны ли они. Поэтому, прежде чем сравнить генеральные средние, проверим гипотезу , приняв в качестве альтернативной . Согласно -критерию (см. модель 5), вычислим , а затем найдем по таблице Так как , то Нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий принимаем.

Теперь проверим гипотезу , приняв в качестве альтернативной . Согласно - критерию (см. модель 4) вычислим

= =3,852.

Далее найдем Так как , то Следовательно, принимаем гипотезу то есть считаем, что применение новой технологии снижает средние затраты сырья на одно изделие.

Часто при обработке статистической информации можно встретиться с признаками, не поддающимися количественной оценке. Например, невозможно дать количественную оценку математическим способностям студента, качеству продукции и т. д. В этих случаях принято подсчитывать долю или процент генеральной совокупности обладающих тем или иным качественным признаком.

Модель 6. Пусть р – доля элементов генеральной совокупности, обладающих некоторым качественным признаком. Из этой генеральной совокупности извлечена выборка объема n (n≥100) и по ней получена точечная оценка параметра р

,

где n ‒ объем выборки, m – число элементов выборки, обладающих исследуемым свойством.

Требуется проверить нулевую гипотезу H₀: р=р₀

при трех альтернативных:

: р≠ р₀

р< р₀,

р> р₀.

Решение. Проверка нулевой гипотезы основывается на вычислении выборочной статистики

Для решения задачи поступают следующим образом:

По выборке (2) считают .

По уровню значимости и таблицам находят соответствующий квантиль нормальной случайной величины

;

Вычисляют (где q₀=1-p₀)

Для альтернативных гипотез Н_а критическая область G имеет вид: Н_а:

Тогда, если U _набл. G, то отклоняем гипотезу H₀ в пользу альтернативной гипотезы Если G, то у нас нет оснований отклонять H₀.

Модель 7. Пусть даны 2 генеральные совокупности, имеющие биномиальный закон распределения (схема Бернулли) с параметрами и ( неизвестные доли элементов генеральной совокупности, обладающие заданным качественным признаком).

Из этих генеральной совокупности извлечены выборки объема n₁ и n₂ и вычислены

где m_i-количество элементов в i-той выборке, которые обладают качественным признаком, который мы исследуем.

Проверка нулевой гипотезы основывается на вычислении выборочной статистики

, где ; ;

Для решения задачи поступают следующим образом:

По выборкам считают

По уровню значимости и таблицам находят соответствующий квантиль нормальной случайной величины

;

3. Вычисляют где ; ;

Для альтернативных гипотез критическая область G имеет вид:

Тогда, если G, то отклоняем гипотезу H₀ в пользу альтернативной гипотезы Если G, то у нас нет оснований отклонять H₀.

Пример 4. Партия изделий принимается в том случае, если вероятность того, что изделие соответствует стандарту Среди случайно отобранных 200 изделий проверяемой партии оказалось 193 соответствующих стандарту. Можно ли принять партию? Принять уровень значимости a=0,02.

Решение: H₀: p= 0,97. H_a: p< 0,97

,

Значит справедлива нулевая гипотеза: партия изделий принимается.

Пример 5. Компания А утверждает, что ее зубная паста лучше зубной пасты компании В. Отобраны группы людей n_A=400, n_B=300 человек, которые чистили зубы зубными пастами компаний А и В. После окончания эксперимента у m_A=30, m_B=25 человек появились новые признаки кариеса. Проверить гипотезу, что зубная паста фирмы А более эффективна, чем зубная паста фирмы В, если уровень значимости .

Решение: n₁=400, m₁=30, n₂=300, m₂=25, ,

H₀: p₁=p₂;

H_a: p₁<p₂;

. Пасты одинаково эффективны.

16. Критерий

Пусть основная гипотеза состоит в том, что функция распределения случайной величины есть функция , зависящая от неизвестных параметров. Процедура применения критерия для проверки гипотезы состоит из следующих этапов:

По выборке (2) найдем точечные оценки неизвестных параметров предполагаемого закона распределения .

Разобьем числовую ось на промежутков , ,

, , .

Если гипотеза справедлива, то промежутку, соответствует вероятность , .

Пусть из выборки (2) значений попадает в -й промежуток . Тогда отношение представляет собой частоту попадания выборочных значений в -й интервал. Близость частот к свидетельствует в пользу гипотезы .

Вычисляем выборочное значение статистики , которая характеризует согласованность гипотезы с опытными данными.

Принимаем статистическое решение: гипотеза не противоречит опытным данным на заданном уровне значимости , если ; если же , то гипотеза отклоняется. Здесь – квантиль уровня распределения Пирсона с степенями свободы, – число параметров распределения , которые оцениваются по выборке (2).

Замечание. Критерий использует тот факт, что случайная величина

,

имеет распределение, близкое к нормальному . Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо чтобы для всех интервалов выполнялось условие . Если в некоторых интервалах это условие не выполняется, то их следует объединить с соседними.