Проверка статистических гипотез. Статистическими гипотезаминазывают любые предположения относительно параметров, (такие гипотезы называют параметрическими) или вида функции распределения

Статистическими гипотезаминазывают любые предположения относительно параметров, (такие гипотезы называют параметрическими) или вида функции распределения случайной величины.

Задача проверки статистической гипотезы относительно генеральной совокупности ставится так:

Найти правило, позволяющее по выборке (1) обоснованно решить вопрос о принятии или отклонении гипотезы . Для решения этой задачи выбирают критерий проверки, то есть некоторую функцию от выборки

, (5)

которая является случайной величиной, так как все есть случайные величины. Предполагается, что для этой функции известны плотности распределения вероятностей и , где – альтернативная гипотеза. Зададим уровень значимости . Эта вероятность такова, что событиями, происходящими с такой вероятностью в данной ситуации, можно пренебречь. Обычно выбирают .

Критической областью называют совокупность значений критерия , при которой гипотезу отвергают.

Область находят из условия

. (6)

Отметим, что условием (6) область определяется неоднозначно.

Основной принцип проверки статистической гипотезы состоит в следующем: по реализации (2) выборки и формуле (5) вычисляют величину .

Если , то отвергают в пользу альтернативной гипотезы . Если же , то оснований отвергнуть нет, так как выборочные данные (2) не противоречат гипотезе .

Число называют мощностью критерия.

. (7)

При принятии или отклонении гипотезы возможны ошибки двоякого рода: 1) ошибка первого рода – отвергают, а она верна.

Вероятность ошибки 1 рода ;

2) ошибка второго рода – принимают, а она не верна.

Вероятность ошибки второго рода .

Из формулы (7) видно, что чем больше мощность , тем меньше ошибка 2 рода. Обычно поступают следующим образом: фиксируют уровень значимости , то есть фиксируют приемлемую вероятность ошибки 1 рода, а затем ищут критерий с наибольшей мощностью, то есть с наименьшей ошибкой 2 рода.

Таким образом, проверка параметрической статистической гипотезы может быть разбита на следующие этапы:

формулируем гипотезы и ;

назначаем уровень значимости ;

выбираем статистику (5) для проверки гипотезы ;

находим плотности распределения и ;

в зависимости от гипотезы находим критическую область ;

по выборке (2) вычисляем ;

принимаем решение: если , гипотезу оставляем. Если , гипотезу отклоняем в пользу альтернативной .

Модель 1. Пусть известно, что генеральная совокупность где m ‒ неизвестно, а – известно. Требуется по выборке (2) и уровню значимости проверить нулевую гипотезу : .

Решение. Рассмотримстатистику :

, где , n-объём выборки.

Возьмем z в качестве критерия проверки гипотезы H₀.

Пусть - квантиль уровня α случайной величины , ;

Тогда для альтернативных гипотез область G будет иметь вид:

По выборке (2) считаем статистику z:

- если , то нулевую гипотезу отвергаем в пользу альтернативной;

- если , то выборочные данные не дают основания для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Для простой альтернативной гипотезы

, мощность критерия ;

Для гипотезы , , .

Модель 2. Пусть генеральная совокупность , и оба параметра и неизвестны. По уровню значимости проверить нулевую гипотезу .

Решение. По выборке (1) найдем точечные оценки

и

неизвестных параметров. Можно доказать, что если гипотеза Н₀ справедлива, то статистика - распределена по закону Стьюдента с степенью свободы. Для альтернативных гипотез область G будет иметь вид:

;

;

;

Здесь - квантиль распределения уровня .

По выборке (2) считаем статистику z:

- если , то нулевую гипотезу отвергаем в пользу альтернативной;

- если , то выборочные данные не дают основания для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Модель 3. Пусть имеем две независимые выборки (1) и

(8)

объемом и из нормальных генеральных совокупностей и . Предположим, что и известны. Требуется на уровне значимости проверить гипотезу : :

Решение. Для этой модели статистика имеет вид

,

где , .

Для альтернативных гипотез , область , область , , , где – квантиль уровня случайной величины .

По реализациям обеих выборок считаем статистику z:

- если (для каждой альтернативной гипотезы область своя), то нулевую гипотезу отвергаем в пользу альтернативной;

- если , то выборочные данные не дают основания для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример 1. По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л. Ожидается, что после модернизации двигателя расход топлива уменьшится. Для проверки производятся испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем. По результатам испытаний выборочная средняя расходов топлива на 100 км пробега составила л. Предполагая, что расход топлива есть нормальная случайная величина с проверить гипотезу , утверждающую, что изменение конструкции двигателя не повлияет на расход топлива при уровне значимости .

Решение. Дано: .

Вычислим статистику .

Область , где квантиль уровня случайной величины . Имеем , то есть .

Так как , то гипотезу отвергаем в пользу альтернативной. То есть из опытных данных следует, что модернизация двигателя привела к уменьшению расхода топлива.

Замечание. Пусть в условиях задачи . Вычислим мощность критерия , вероятность ошибки второго рода , и ответим на вопрос, какой минимальный объем выборки нужно взять, чтобы .

Имеем .

, где .

.

Решим уравнение

,

,

, , .

Пример 2. Из продукции двух станков-автоматов, выпускающих однотипные изделия, взяты выборки объемов и По результатам выборок найдены мм, мм. Дисперсии генеральных совокупностей известны , . В предположении о нормальном законе распределения погрешностей изготовления требуется на уровне значимости проверить гипотезу при альтернативной гипотезе .

Решение. У нас , , , , , , .

Статистика .

.

Критическая область для альтернативной гипотезы имеет вид

,

, .

Так как , то отклоняем гипотезу в пользу альтернативной .