Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Теорема 11.1. (Пуассона) Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р. Тогда, если число испытаний неограниченно возрастает, а p →0, причём n∙p=a – величина постоянная, то P _n (k) .

По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях

P _n (k)= p^kq^n-k= p^k (1 - p) ^n-k.

Отсюда

P _n (k)= p^k (1 - p) ^n-k= p^k (1 - p) ^n-k.

По условию a=n∙p p= , подставляя, получим:

P _n (k)= =

= … =

= … .

Переходя к пределу при n →∞

= = [ т.к. ].

Замечание 11.2. Теоремой Пуассона удобно пользоваться, когда p →0, причём a=n∙p 10.Существуют специальные таблицы, в которых приведены значения вероятностей для различных параметров a и k.

Формула Бернулли удобна, когда значение n не очень велико. В противном случае используют приближенные формулы из теорем Муавра-Лапласа.

Теорема 11.3. (локальная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, т.е.0< p <1, то вероятность того, что событие A появится ровно k раз в n независимых испытаниях

P _n (k) , где – малая функция Лапласа, , q =1- p.

Имеются специальные таблицы значений функции . Нужно учитывать, что функция – чётная, т.е. = .

Теорема 11.4. (интегральная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от отлична от 0 и 1, т.е. 0< p <1, то вероятность того, что событие А появится от k₁ до k₂ раз в n независимых испытаниях, определятся выражением:

P _n (k₁,k₂) , где – функция Лапласа, , , q =1- p.

Функция Лапласа – нечётная, т.е. . Значения находят по таблице.

Пример 11.5. Пусть вероятность события А в каждом отдельном испытании p =0,8. Найти вероятность того, что событие А появится 75 раз в 100 независимых испытаниях.

По локальной теореме Муавра-Лапласа х = = = –1,25. Значение (–1,25)= (1,25)=0,1826 находится по таблице.

Тогда вероятность

P₁₀₀(75) *0,1826 0,04565.

Пример 11.6. Вероятность Р(А) появления события А в одном испытании равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится более 69 раз в 100 независимых испытаниях.

n =100, p =0,8, q =0,2, k₁= 70, k₁= 100.

По интегральной теореме Муавра-Лапласа = = = –1,25, = = = 5. По таблице (-2,5)= - (2,5)= -0,4938, (5)=0,5, P₁₀₀(70,100) (5) - (-2,5)=0,5+0,4938=0,9938